Tento príklad aj trošičku súvisí s jednou z prémiových úloh - tá je však podstatne ťažšia, pracuje sa tam s okruhom spojitých funkcií na intervale $[0,1]$, nie s okruhom všetkých funkcií. (Ak sa ju budete pokúšať riešiť, tak vám pomôže, ak dobre ovládate veci z matematickej analýzy.)Nech $F$ je pole a $A\ne\emptyset$ je neprázdna množina. Dokážte, že v okruhu $F^A$ je každý ideál tvaru $M_p=\{f\in F^A; f(p)=0\}$, kde $p$ je nejaký prvok z $A$, maximálny.
Predtým, než si pozriete riešenia, si treba pripomenúť, čo vlastne je okruh $(F^A,+,\cdot)$. (Aké má prvky, ako v ňom fungujú operácie.) Pre istotu pripomeniem: Prvky $F^A$ sú všetky zobrazenia z $A$ do $F$. Operácie sú definované tak, že sčitujeme a násobíme hodnoty v každom bode, t.j. súčet a súčin funkcií sú definované ako
$$
\begin{align*}
(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\
(f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)
\end{align*}
$$
pre $x\in A$.
Riešenie pomocou vety o faktorovom okruhu
Najprv zopakujem riešenie, ktoré sme videli na cvičení.
Pretože $F$ je pole, $F^A$ je komutatívny okruh s jednotkou. Pre komutatívne okruhy s jednotkou poznáme z prednášky vetu, ktorá hovorí, že faktorový okruh $R/I$ je poľom práve vtedy, keď $I$ je maximálny ideál. Čiže ak by sa nám podarilo dokázať, že $F^A/M_p$ je pole, tak sa môžeme odvolať na túto vetu a z nej hneď vyplýva, že $M_p$ je maximálny ideál.
Na dôkaz, že $F^A/M_p$ je pole, by stačilo dokázať, že $F^A/M_p\cong F$. Na to využijeme vetu o izomorfizme.
Chceli by sme teda nájsť nejaký vhodný homomorfizmus $\Zobr \vp{F^A}{F}$, taký, aby jeho jadro bolo práve $M_p=\{\Zobr fAF; f(p)=0\}$. Vedeli by sme vymyslieť nejaké prirodzené zobrazenie z $F^A$ do $F$, ktoré nulu priradí práve takýmto zobrazeniam? Vhodný kandidát sa zdá byť priradiť funkcii jej hodnotu v bode $p$:
$$\Zobrto {\vp}{f}(f(p)),$$
t.j. $\vp(f)=f(p)$.
Poďme overiť predpoklady vety o izomorfizme. Predpis, ktorý sme uviedli, skutočne definuje zobrazenie $F^A\to F$. (Každej funkcii z $F^A$ priradí niečo, čo patrí do $F$.)
Je toto zobrazenie homomorfizmus? Áno, ľahko to dostaneme iba použitím definície zobrazenia $\vp$ a tiež definície sčitovania a násobenia v okruhu $F^A$:
$$
\vp(f+g)=(f+g)(p)=f(p)+g(p)=\vp(f)+\vp(g),\\
\vp(f\cdot g)=(f\cdot g)(p)=f(p)\cdot g(p)=\vp(f)\cdot \vp(g).
$$
Je tento homomorfizmus surjektívny? Viem pre každé $x\in F$ nájsť takú funkciu, pre ktorú platí $\vp(f)=x$? To je to isté ako pýtať sa, či existuje funkcia $A\to F$ taká, že v bode $p$ má funkčnú hodnotu $x$. Stačí zobrať konštantnú funkciu, ktorá v každom bode z $A$ nadobúda hodnotu $x$.
Priamo z toho, ako sme definovali $\vp$, je jasné, že jadro tohoto homomorfizmu je
$$\Ker\vp=\{f\in F^A; \vp(f)=0\}=\{f\in F^A; f(p)=0\}=M_p.$$
Overili sme všetky predpoklady vety o izomorfizme. Z nej už vyplýva, že
$$F^A/M_p = F^A/\Ker\vp \cong F.$$
Teda faktorový okruh $F^A/M_p$ je poľom a $M_p$ je maximálny ideál.
Riešenie priamo z definície.
Skúsme tú istú úlohu riešiť priamo použitím definície maximálneho ideálu. (Chceme skontrolovať, či $M_p$ spĺňa túto definíciu.)
Ako prvú vec by sme mali overiť, či je to ideál. To je pomerne ľahké a nechám to na vás. (Všimnime si, že v predošlom riešení sme túto vec mali "zadarmo": Ukázali sme, že $M_p$ je jadrom nejakého homomorfizmu a vieme, že jadro homomorfizmu je vždy ideál.)
Poďme sa pozrieť na to, či tento ideál je maximálny.
Nech teda nejaký ideál $I$ obsahuje celé $M_p$ a obsahuje aj nejakú funkciu $g$ takú, že $g(p)\ne0$. Potom funkcia
$$f(x)=
\begin{cases}
0 & x=p, \\
1 & x\ne p
\end{cases}
$$ patrí do $M_p$ a teda aj do $I$. Súčasne keď $g$ vynásobím funkciou $1-f$, dostanem, že funkcia
$$h(x)=g(x)(1-f(x))=
\begin{cases}
g(p) & x=p, \\
0 & x\ne p
\end{cases}$$ tiež patrí do $I$.
Keď ju ešte vynásobím $g(p)^{-1}$ (konštantnou funkciou), tak vidím, že do $I$ patrí aj funkcia
$$h_1(x)=
\begin{cases}
1 & x=p, \\
0 & x\ne p.
\end{cases}$$
A sčítaním funkcií $f$ a $h_1$ dostanem, že $f+h_1=1\in I$, z čoho už vyplýva, že ideál $I$ je celý okruh