Úlohy LS 2013/14

[Martin Sleziak]

Ak v niektorých úlohách budete potrebovať použiť Hornerovu schému, nemusíte ju sem prepisovať. (Dosť zle sa to TeXuje.)
Stačí jednoducho napísať to, ktoré čísla ste skúšali dosadzovať do Hornerovej schémy a čo vám vyšlo. (Výpočet by si mal byť každý schopný overiť už aj sám.)

Úloha 9.1. Rozložte na ireducibilné polynómy nad $\mathbb C$, nad $\mathbb R$, nad $\mathbb Q$ polynóm: $x^3+2x^2+2x+4$.

Úloha 9.2. Dokážte, že $x^2+x+1\mid x^{3m}+x^{3n+1}+x^{3p+2}$ v $\mathbb C[x]$.

Úloha 9.3. Nájdite všetky ireducibilné polynómy nad $\mathbb Z_2$ stupňov 2,3,4.

Úloha 9.4. Nájdite rozklad $f(x)=4x^4+3x^3+4x^2+4x+6$ na ireducibilné polynómy v $\mathbb Z_7[x]$

Úloha 9.5. Nájdite rozklad $f(x)$ na ireducibilné polynómy v $F[x]$.
a) $f(x)=x^4-1$, $F=\mathbb Z_{11}$
b) $f(x)=x^4-1$, $F=\mathbb Z_{13}$

Úloha 9.6.* Nech $f(x)\in\mathbb Z[x]$ je polynóm sceločíselnými koeficientami. Dokážte, že ak $a+b\sqrt 3$ je koreň $f(x)$, tak aj $a-b\sqrt 3$ je koreň $f(x)$.

Úloha 9.7. Dokážte, že každý nenulový polynóm stupňa 3 nad poľom $\mathbb R$ má reálny koreň. (V tejto úlohe máte povolené používať veci, ktoré sme si od $\mathbb C$ povedali bez dôkazu. Alebo môžete použiť dôkaz založený na tom, čo viete z analýzy - potom sa na žiadne nedokázané veci odvolávať nebudete musieť.)

Úloha 9.8 Dokážte, že polynóm $f(x)=1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}\in\mathbb C[x]$ nemá viacnásobný koreň. (Tu sa môže hodiť veta 4.5.31 z textu k prednáške, ktorá hovorí, že polyńóm má násobný koreň práve vtedy, ak polynóm a jeho derivácia sú súdeliteľné.)

[Martin Sleziak]

Bol som upozornený na nejasnosť a chybu v tomto zadaní:

Úloha 7.3.${}^*$ Je ideál $(2+i)=\{(2+i)z; z\in\mathbb C\}$ maximálny ideál v okruhu $\mathbb Z[ i ]=\{a+bi; a, b\in\mathbb Z\}$? Je tento ideál hlavný?

Čo sa týka označenia $\mathbb Z[ i ]$ nemá nič spoločné s okruhom polynómov nad $\mathbb Z$, je to len označenie pre uvedenú množinu. Uznávam, že to môže byť mätúce (keďže sme označenie s hranatými zátvorkami používali pre okruh polynómov), ale toto je zaužívané označenie pre množinu gaussovských celých čísel, tak som ho použil aj ja.

Dôležitejšia je asi chyba v prvej časti. Nemá tam byť $(2+i)=\{(2+i)z; z\in\mathbb C\}$ ale $(2+i)=\{(2+i)z; z\in\mathbb Z[ i ]\}$. (Presne tak, ako sme zvyknutí definovať hlavný ideál.)

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov z úlohy na fóre je:
R. Rabatin 3b
F. Koľbík 2b
A. Gafurov 1b
J. Petrucha 1b