Prednášky ZS 2014/15

[Martin Sleziak]

Sem sa budem snažiť písať, čo sa prebralo na jednotlivých prednáškach. (Budem sa to snažiť robiť tak, aby sa to tu objavilo nie neskôr ako týždeň po prednáške.)

Môže to byť užitočné pre ľudí, ktorí vymeškajú prednášku - aby vedeli, čo si majú doštudovať. A azda aj na udržanie nejakého všeobecného prehľadu, čo sa už prebralo.

Toto vlákno by som chcel používať pre tento jeden konkrétny účel - ak budete mať nejaké otázky k veciam, čo odzneli na niektorej prednáške, otvorte, prosím, nový topic.

[Martin Sleziak]

1. týždeň

1. prednáška (23.9.)
Historický úvod. Motivácia.
Zobrazenia: Definícia zobrazenia z $A$ do $B$. Obraz prvku, obraz množiny, vzor množiny. Zúženie zobrazenia.
(T.j. zhruba po definíciu 1.1.5 v Korbaš: Lineárna algebra a geometria I, po definíciu 1.3 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.)

2. prednáška (24.9.)
Dokončenie zobrazení. Definícia binárnej operácie.
(T.j. po definíciu 1.2.1 v Korbaš: Lineárna algebra a geometria I, po definíciu 1.9 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.)

Na stránke predmetu sa objavili prvé prednáškové úlohy.

[Martin Sleziak]

2. týždeň

3. prednáška (30.9.):
Binárne operácie, grupy.
(T.j. po koniec časti 1.3 v Korbaš: Lineárna algebra a geometria I, po vetu 1.8 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.)

4. prednáška (1.10.):
Podgrupy. Homomorfizmy (definícia, obraz neutrálneho a inverzného prvku, obraz podgrupy v homomorfizme je podgrupa.)
(T.j. po vetu 1.5.4 v Korbaš: Lineárna algebra a geometria I, po vetu 1.11 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.)

[Martin Sleziak]

3. týždeň:

5. prednáška (7.10.):
Homomorfizmy. Jadro, injektívny homomorfizmus - charakterizácia pomocou jadra, izomorfizmus.
Relácia ekvivalencie. Definícia relácie ekvivalencie. Definícia triedy ekvivalencie.
(T.j. po definíciu 1.6.3 v Korbaš: Lineárna algebra a geometria I, po definíciu 1.23 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.)

6. prednáška (8.10.):
Faktorové grupy. Rozklad daný reláciou ekvivalencie. Definícia faktorovej grupy pre komutatívnu grupu. Veta o faktorovom izomorfizme.
Okruhy. Definícia okruhu.
(T.j. po definíciu 1.7.1 v Korbaš: Lineárna algebra a geometria I, po definíciu 2.1 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.)

[Martin Sleziak]

4. týždeň

7. prednáška (14.10.):
Okruhy a polia. Dokončenie vecí o vektorových priestoroch. (Veta o tom, kedy je $\mathbb Z/m\mathbb Z$ poľom zostala ako prednášková úloha.)
Vektorové priestory. Orientované úsečky v rovine ako motivačný príklad. Definícia vektorového priestoru.
(T.j. po definíciu 2.1.1 v Korbaš: Lineárna algebra a geometria I, po definíciu 3.1 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.)

8. prednáška (15.10.):
Vektorové priestory. Príklady, základné vlastnosti.
Podpriestory. Kritériá vektorového podpriestoru, najmenší podpriestor obsahujúci danú množinu.
(T.j. po vetu 2.1.10 v Korbaš: Lineárna algebra a geometria I, po vetu 3.5 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.)

[Martin Sleziak]

5. týždeň

9. prednáška (21.10.):
Vektorové priestory. Lineárna kombinácia, lineárny obal.
Systémy lineárnych rovníc. Zatiaľ iba definícia, čo je systém lineárnych rovníc (nad nejakým poľom).
(T.j. po definíciu 2.2.1 v Korbaš: Lineárna algebra a geometria I, po definíciu 4.1 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.)

10. prednáška (22.10.):
Systémy lineárnych rovníc. Gaussova metóda.
LIneárna závislosť a nezávislosť vektorov. Definícia. Podmnožina lineárne nezávislej množiny je lineárne nezávislá.
(T.j. po vetu 2.3.3 v Korbaš: Lineárna algebra a geometria I, po definíciu 5.1 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.)

[Martin Sleziak]

6. týždeň

11. prednáška (28.10.):
Systémy lineárnych rovníc, Gaussova metóda.
Lineárna závislosť a nezávislosť.
Konečne generovaný a nekonečne generovaný vektorový priestor.
(T.j. po definíciu 2.4.2 v Korbaš: Lineárna algebra a geometria I, po definíciu 5.2 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.)

12. prednáška (29.10.):
Báza a dimenzia.
(T.j. po koniec časti 2.4 v Korbaš: Lineárna algebra a geometria I, po koniec 5. kapitoly v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.)

[Martin Sleziak]

7. týždeň

13. prednáška (4.11.):
Lineárne a priame súčty podpriestorov.
Matice. Z tejto časti zatiaľ iba definície.
(T.j. po definíciu 3.1.1 v Korbaš: Lineárna algebra a geometria I, po definíciu 7.1 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.)

14. prednáška (5.11.):
Matice. Súčet, násobok skalárom, vektorový priestor $M_{m,n}(R)$
Riadková ekvivalencia. Priestor patriaci matici $A$, elementárne riadkové operácie, riadková ekvivalencia matíc, redukovaná stupňovitá matica.
(T.j. po definíciu 3.2.7 v Korbaš: Lineárna algebra a geometria I, po definíciu 7.8 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.)

[Martin Sleziak]

15. prednáška (11.11.):
Riadková ekvivalencia. Každá matica je ekvivalentná s redukovanou stupňovitou maticou. Ekvivalentné podmienky pre riadkovú ekvivalenciu.
Lineárne zobrazenia. Definícia lineárneho zobrazenia.
(T.j. po definíciu 4.1.1 v Korbaš: Lineárna algebra a geometria I, po definíciu 8.1 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.)

16. prednáška (12.11.):
Lineárne zobrazenia. Základné vlastnosti (skladanie, obraz a vzor podpriestoru). Lineárny izomorfizmus.
Faktorové vektorové priestory. Definícia faktorového vektorového priestoru (aj dôkaz, že je to naozaj vektorový priestor).
(T.j. po vetu a definíciu 4.1.11 v Korbaš: Lineárna algebra a geometria I, po definíciu 8.3 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.)

[Martin Sleziak]

17. prednáška (18.11.):
Faktorové vektorové priestory. Veta o faktorovom izomorfizme.
Základná veta o lineárnych zobrazeniach.
Matica lineárneho zobrazenia. Definícia matice lineárneho zobrazenia $R^k\to R^s$. Súčin matíc a skladanie lineárnych zobrazení.

(T.j. po definíciu 4.3.1 v Korbaš: Lineárna algebra a geometria I, po vetu 8.10 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.)

18. prednáška (19.11.):
Súčin matíc. Vlastnosti: Asociatívnosť, distributívnosť. (Súčin matíc však nie je komutatívny.) Transponovaná matica.
Súčin matíc a elementárne riadkové operácie.
Injektívne a surjektívne lineárne zobrazenia. Charakterizácia pomocou obrazov bázových vektorov.
(T.j. po vetu 4.5.1 v Korbaš: Lineárna algebra a geometria I, po vetu 8.14 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.)