Dimenzia suctu 3 priestorov

[Martin Sleziak]

Ked sme robili kapitolu o vektorovych priestoroch, tak sme spominali, ze pre dva priestory funguje podobny vzorec, ako pre pocet prvkov zjednotenia.
$$
\begin{align}
|U\cup V|&=|U|+|V|-|U\cap V|\\
d(U+V)&=d(U)+d(V)-d(U\cap V)
\end{align}
$$

Keby sme skusili to iste pre tri priestory, t.j. vo vzorci pre pocet prvkov nahradili vsade zjednotenie suctom, tak tento vzorec uz platit nemusi, t.j. vo vseobecnosti $d(U+V+W)$ nie je to iste ako
$$d(U)+d(V)+d(W)-d(U\cap V)-d(U\cap W)-d(V\cap W)+d(U\cap V\cap W).$$

Kontrapriklad je presne ten, co sme pouzili v priklade 5(b) v tej kapitole: 3 rozne priamky prechadzajuce cez nulu.

Pridam este nejake linky:

• Examples of common false beliefs in mathematics - Mathoverflow
• Is there a version of inclusion/exclusion for vector spaces? - Mathoverflow

EDIT: Ja som to pod tým názvom nepoznal, ale ten vzorec pre dva priestory sa vraj zvykne volať Grassmannova formula; pozri napríklad tu, tu alebo tu.