Rozklad na antipodalne body a pevne body

[Martin Sleziak]

V cviceni 9 v kapitole 2 sme mali ukazat, ze ak $\vartheta \colon V\to V$ je endomorfizmus taky, ze $\vartheta\circ\vartheta=1_V$, tak $V=U\oplus W$, kde
$$\begin{align}
U&=\{v\in V \colon v\vartheta=v\}\\
W&=\{v\in V \colon v\vartheta=-v\}
\end{align}$$

Ja som riesenie spravil, tak ze som uhadol, ake su pre dany vektor $v$ vektory $u$ a $w$ a ukazal, ze vsetko vyjde. V skutocnosti vobec nebolo treba hadat, ak totiz chceme aby platilo $v=u+w$, pricom $u\in U$ a $v\in W$, tak z linearity vyjde
$$\begin{align}
v\vartheta&=u\vartheta+w\vartheta\\
v\vartheta&=u-w
\end{align}$$
a z rovnosti $v\vartheta=u-w$ a $v=u+w$ uz vieme doratat, ze
$$u=\frac{v\vartheta+v}2\\w=\frac{v\vartheta-v}2.$$
(Ako poznamenal Martin, toto zafunguje pre pole charakteristiky inej ako 2 - ale mi aj tak robime iba s $\mathbb R$ a $\mathbb C$.)