2. úloha - faktorová grupa

[Martin Sleziak]

Zadanie vo všetkých skupinách bolo:$\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$

Vypíšte prvky a tabuľku grupovej operácie pre faktorovú grupu $G$ podľa podgrupy $H$.
Je táto faktorová grupa izomorfná s nejakou známou grupou? Svoje tvrdenie zdôvodnite.
A: $G=(\Z_2\times\Z_3,+)$, $H=\{0\}\times\Z_3$
B: $G=(\Z_2\times\Z_3,+)$, $H=\Z_2\times\{0\}$
C: $G=(\Z_2\times\Z_4,+)$, $H=\Z_2\times\{0\}$

Všetky 3 úlohy sú podobné. Pozrime sa trebárs na úlohu zo skupiny C.

Pripomeňme, že prvkami faktorovej grupy sú presne triedy, ktoré dostaneme pri relácii ekvivalencie na množine $G$ definovanej ako
$$x\sim y \Leftrightarrow x-y\in H.$$
My máme $H=\Z_2\times\{0\}=\{(0,0),(1,0)\}$.
V našom prípade, ak sa napríklad pozeráme na triedu prvku $(1,1)$, tak sa pýtame pre aké prvky $(a,b)$ platia nasledujúce ekvivalentné podmienky:
$(a,b)\sim(1,1)$ $\Leftrightarrow$
$(a,b)-(1,1)\in H$ $\Leftrightarrow$
$(a,b)-(1,1)=(h_1,h_2)$ pre nejaký prvok $(h_1,h_2)\in H$ $\Leftrightarrow$
$(a,b)=(1,1)+(h_1,h_2)$ pre nejaký prvok $(h_1,h_2)\in H$
Pretože prvky podgrupy $H$ sú iba $(0,0)$ a $(1,0)$, tak vlastne dostávame
$(a,b)=(1,1)+(0,0)$ alebo $(a,b)=(1,1)+(1,0)$.
Čiže všetky prvky triedy $[(1,1)]$ dostaneme tak, že k prvku $(1,1)$ postupne pripočítame jednotlivé prvky z grupy $H$.
$[(1,1)]=[(1,1),(0,1)]$
Podobne to bude fungovať aj pre iné prvky grupy $G$, nielen pre dvojicu $(1,1)$.

Vyberme si vhodných reprezentantov, konkrétne sa pozrime na triedy prvkov $(0,0)$, $(0,1)$, $(0,2)$, $(0,3)$. Dostaneme
$[(0,0)]=\{(0,0),(1,0)\}$
$[(0,1)]=\{(0,1),(1,1)\}$
$[(0,2)]=\{(0,2),(1,2)\}$
$[(0,3)]=\{(0,3),(1,3)\}$
Ďalšie triedy už hľadať nemusíme - už sme dostali všetkých osem prvkov grupy $\Z_2\times\Z_4$, takže ak by sme skúšali ostatné 4 prvky, znovu by sme dostali niektorú z už uvedených tried. Konkrétne $[(0,0)]=[(1,0)]$, $[(0,1)]=[(1,1)]$, $[(0,2)]=[(1,2)]$ a $[(0,3)]=[(1,3)]$.

Zatiaľ máme teda za sebou prvú časť úlohy - našli sme prvky faktorovej grupy; sú to uvedené 4 triedy.
$G/H=\{[(0,0)],[(0,1)],[(0,2)],[(0,3)]\}$

Chceme napísať aj tabuľku grupovej operácie. Tu sa oplatí primenúť, že operácia na faktorovej grupe je vo všeobecnosti definovaná ako
$$[x]+[y]=[x+y].$$
Stačí teda ščítať reprezentantov a zobrať triedu ich súčtu.
Teda napríklad $[(0,2)]+[(0,3)]=[(0,1)]$.
Na základe toho už vieme ľahko vyplniť tabuľku:
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|c|}
\hline
+ & [(0,0)] & [(0,1)] & [(0,2)] & [(0,3)] \\\hline\hline
[(0,0)] & [(0,0)] & [(0,1)] & [(0,2)] & [(0,3)] \\\hline
[(0,1)] & [(0,1)] & [(0,2)] & [(0,3)] & [(0,0)] \\\hline
[(0,2)] & [(0,2)] & [(0,3)] & [(0,0)] & [(0,1)] \\\hline
[(0,3)] & [(0,3)] & [(0,0)] & [(0,1)] & [(0,2)] \\\hline
\end{array}
$$

Vidíme, že až na označenie prvkov je to presne rovnaká tabuľka ako tabuľka grupy $(\Z_4,+)$.
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|c|}
\hline
+ & 0 & 1 & 2 & 3 \\\hline\hline
0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\\hline
1 & 1 & 2 & 3 & 0 \\\hline
2 & 2 & 3 & 0 & 1 \\\hline
3 & 3 & 0 & 1 & 2 \\\hline
\end{array}
$$

Tieto tabuľky sa naozaj líšia iba tým, že z druhej dostaneme prvú ak všade nahradíme symbol $0$ symbolom $[(0,0)]$, symbol $1$ symbolom $[(0,1)]$ atď.
T.j. zobrazenie $0\mapsto[(0,0)]$, $1\mapsto[(0,1)]$, $2\mapsto[(0,2)]$, $3\mapsto[(0,3)]$ je izomorfizmus medzi grupami $(\Z_4,+)$ a $(G/H,+)$.

[Martin Sleziak]

Označenie
V tom, čo som písal vyššie, som sa pridŕžal označenia aké je použité v knihe LAG1. T.j. usporiadané dvojice označujem okrúhlymi zátvorkami, napríklad $(0,0)$. Hranaté zátvorky používam na označenie triedy daného prvku.
Viacerí z vás písali iba $[0,1]$ namiesto $[(0,1)]$. Pochopil som, že tým myslíte triedu dvojice $(0,1)$, ale takýto zápis nie je formálne úplne správny. (Aj keď je jasné, že v tomto konkrétnom príklade tam bolo veľa kadejakých zátvoriek, ktoré sa človeku asi nechce vypisovať.)
V odovzdaných riešeniach sa vyskytli aj kadejaké iné zápisy, ktorým som nie celkom rozumel; ako napríklad $[0]\times[1]$.

[Martin Sleziak]

Veta o faktorovom izomorfizme

Ak by niekto chcel zdôvodniť izomorfizmus medzi $G/H$ a $\mathbb Z_4$ cez vetu o faktorovom izomorfizme, môže použiť zobrazenie $f\colon \mathbb Z_2\times \mathbb Z_4 \to \mathbb Z_4$ definované predpisom $f(a,b)=b$.
O tomto zobrazení by bolo treba skontrolovať, že:

• $f$ je grupový homomorfizmus;
• $f$ je surjektívne;
• $\operatorname{Ker} f=\mathbb Z_2\times\{0\}$

Pre žiadnu z týchto častí nie je ťažké ju overiť.
Aj tak si myslím, že v tomto prípade je overenie izomorfizmu vypísaním tabuľky jednoduchšíe.

Často sa vyskytujúce chyby

Budem ich písať tak, ako keby išlo o skupinu C. (Chyby ktoré sa vyskytli v inchý skupinách sa ľahko dajú "preložiť" na podobný problém pre úlohu zo skupiny C.)

Prekvapivo veľa ľudí zapisovalo triedy ako $[0]$ namiesto $[(0,0)]$, $[1]$ namiesto $[(0,1)]$, atď.
Ak niečo má byť trieda rozkladu grupy $G$ podľa podgrupy $H$, tak reprezentant triedy musí byť prvok z $G$. Čiže v tomto prípade by to mali byť usporiadané dvojice.

Našlo sa dosť ľudí, ktorí napísali s čím je izomorfná zadaná podgrupa. (Napríklad v skupine C že $\mathbb Z_2\times\{0\}\cong \mathbb Z_2$.) Otázka však bola s čím je izomorfná faktorová grupa.