3. úloha - vlastnosti poľa

[Martin Sleziak]

Vo všetkých 3 skupinách bolo úlohou dokázať nejakú vlastnosť polí:$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$

• Dokážte (priamo z definície poľa): Ak $R$ je pole a $a\in R$, tak $a\cdot 0=0$.
• Dokážte (priamo z definície poľa): Nech $R$ je pole a $a,b,c\in R$. Ak $a\ne 0$ a $ab=ac$ tak $b=c$.
• Dokážte (priamo z definície poľa): Ak $R$ je pole, $a,b\in R$ a $ab=0$, tak $a=0$ alebo $b=0$.

Zdôrazním, že v zadaní je napísané priamo z definície poľa. Teda by ste mali využívať naozaj iba tie veci, ktoré sú priamo v definícii poľa.
V LAG1 je definícia poľa uvedená takto:

Nech $(R,+,\cdot,1)$ je okruh s jednotkou. Ak $\cdot$ definuje binárnu operáciu na $R^*=R\setminus\{0\}$ (teda, ak obraz zobrazenia $\cdot|_{R^*\times R^*}$ je obsiahnutý v $R^*$; ako vieme z časti venovanej grupám, v tejto situácii sa tiež vraví, že podmnožina $R^*$ je uzavretá vzhľadom na operáciu $\cdot$) a $R^*$ s touto binárnou operáciou je grupa, potom $(R,+,\cdot,1)$ sa nazýva teleso.
Teleso, ktorého násobenie je komutatívne, sa nazýva pole.

A) Ak $R$ je pole a $a\in R$, tak $a\cdot 0=0$

V poli platí distributívnosť, teda máme
$a\cdot 0=a\cdot (0+0)= a\cdot 0+a\cdot 0$
Keď v rovnosti $a\cdot 0=a\cdot 0+a\cdot 0$ k obom stranám pripočítame $-a\cdot0$ (alebo využijeme zákon o krátení v grupe $(R,+)$), tak dostaneme
$0=a\cdot0$.

B) Nech $R$ je pole a $a,b,c\in R$. Ak $a\ne 0$ a $ab=ac$ tak $b=c$.

Ak $a\ne0$, tak existuje inverzný prvok $\inv a$.
Potom z rovnosti $ab=ac$ dostaneme, ak ju vynásobíme $\inv a$:
$ab=ac$
$\inv a(ab)=\inv a(ac)$
$(\inv a a)b=(\inv aa)c$
$1b=1c$
$b=c$


C) Ak $R$ je pole, $a,b\in R$ a $ab=0$, tak $a=0$ alebo $b=0$.

Z definície vieme, že $\cdot$ je binárna operácia aj na podmnožine $R^*=R\setminus\{0\}$.
To znamená, že $a\ne 0 \land b\ne 0 \Rightarrow ab\ne0$.
Ak urobíme obmenenú implikáciu, tak dostaneme presne:
$ab=0 \Rightarrow a=0 \lor b=0$.

[Martin Sleziak]

Niektoré problémy, ktoré sa vyskytli v odovzdaných riešeniach:

A) Niektorí z vás ste v riešení využili rovnosť $a(b-c)=ab-ac$, čo je vlastne iné prepísanie rovnosti $a[b+(-c)]=ab+(-ac)$.
Teda táto rovnosť vyplýva z distributívneho zákonu a z rovnosti $a(-c)=-(ac)$.
Poslednú uvedenú rovnosť vieme dokázať takto: $a(c+(-c))=a(c+(-c))=a0\overset{(*)}=0$, čo znamená, že $a(-c)$ je naozaj inverzný prvok k $ac$ vzhľadom na sčítanie, čo zapisujeme ak $a(-c)=-ac$.
Všimnime si však, že na mieste označenom (*) sme použili rovnosť, ktorú sa snažíme dokázať.
Čiže ak využijeme v odvodení $a\cdot0=0$ túto rovnosť, tak dostaneme dôkaz do kruhu. (Alebo musíme vymyslieť iný dôkaz pre $a(b-c)=ab-ac$.)

B) V tejto úlohe by sa do istej miery dalo odvolať aj na zákon o krátení v grupe $R^*$. Treba si ale uvedomiť, že tým by sme implikáciu $ab=ac$ $\Rightarrow$ $b=c$ dokázali iba pre $b,c\ne 0$. Ešte by potom bolo treba ukázať, že $a\cdot0=0$.