Cvičenia ZS 2014/15

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorý z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Okrem toho je na stránke predmetu súbor s príkladmi z jednotlivých cvičení. (Príklady z tohoto súboru nebudú vždy presne totožné s tým, čo na cvičení stihneme; ale aspoň ukazujú aké typy príkladov by ste mali byť schopní riešiť.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. cvičenie (22.9.):
Riešili sme príklady na overenie, či ide o tautológiu a na dôkazy nejakých jednoduchých množinových identít.
Konkrétne sme stihli:
* $p\lor (q\land r) \Leftrightarrow (p\lor q)\land (p\lor r)$
* $(p\Rightarrow q) \Leftrightarrow (\neg q \Rightarrow \neg p)$
* $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$
* $[(A\subseteq B) \land (B\subseteq C)] \Rightarrow (A\subseteq C)$ (inklúzia je tranzitívna)

Ak chcete, môžete sa zamyslieť nad tým, ako by vyzerali Vennove diagramy pre viac než 3 množiny: viewtopic.php?t=57
Dôkaz tranzitívnosti inklúzie ešte nebol celkom ok - jasnejší by mal byť po budúcom cviku, keď sa budeme zaoberať výrokmi s kvantifikátormi: viewtopic.php?t=62
Úlohu o tranzitívnosti symetrickej diferencie (ktorú sme už nestihli) ste mohli stretnúť v inom kontexte kedysi na predmete Algebra: viewtopic.php?f=22&t=476

[Martin Sleziak]

2. cvičenie (29.9.): Zaoberali sme sa jednoduchými výrokmi s kvantifikátormi. Ukázali sme si, ako sa negujú a tiež sme sa pozreli na to, či platia niektoré výroky z kvantifikátormi.

Ako nepovinná domáca úloha na rozmyslenie zostala otázka, či negovanie výrokov s kvantifikátormi funguje rovnako, ak je kvantifikátor viazaný na množinu: viewtopic.php?f=22&t=63

Nejaký komentár k úlohe, ktorú sme už na cviku nestihli poriadne dokončiť, som napísal sem: viewtopic.php?t=491

[Martin Sleziak]

3. cvičenie (6.10.)
Dokazovali sme veci o karteziánskom súčine.
Ukázali sme, že
* $A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C)$ (tento dôkaz je spravený aj v poznámkach k prednáške)
* $A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)$
* Pre neprázdnu množinu $A$ platí $A\times B\subseteq A\times C$. Riešenie tohoto príkladu som sa snažil napísať aj sem: viewtopic.php?t=490
* Karteziánsky súčin nie je komutatívny ani asociatívny. (Opäť zdôvodnenie týchto vecí nájdete aj v poznámkach k prednáške.)

[Martin Sleziak]

4. cvičenie (13.10.)
Relácie.
* $R$ je tranzitívna $\Leftrightarrow$ $R\circ R\subseteq R$
* $R$ je symetrická $\Leftrightarrow$ $R=R^{-1}$
* Pozreli sme sa ešte na to, či platí $R^{-1}\circ R \subseteq id_A$ resp. $R^{-1}\circ R \supseteq id_A$.

[Martin Sleziak]

5. cvičenie (20.10.):
Zobrazenia. Príklady na vzor a obraz množiny. (Niektoré časti tvrdenia 3.2.13.)
Ak $f$, $g$ sú injekcie/surjekcie, tak aj $f\times g$ je surjekcia. (=Tvrdenie 3.2.19)

[Martin Sleziak]

6. cvičenie (3.11.):
Z úloh venovaných dobre usporiadaným množinám sme stihli úlohy 2 a 3. A tiež sme si ukázali viacero príkladov dobre usporiadaných množín (úloha 6).

[Martin Sleziak]

7. cvičenie (10.11.): Ukázali sme, že umocňovanie kardinálov je dobre definované. Z úloh venovaných kardinálom sme sa ešte venovali úlohám 2 a 4.

[Martin Sleziak]

8. cvičenie (24.10): Úlohy o kardináloch: Počítali sme s konkrétnymi kardinálnymi číslami ($\newcommand{\mfr}[1]{\mathfrak{#1}}\newcommand{\alnul}{\aleph_0}\alnul^{\alnul}=\mfr c$, $\mfr c= \mfr c\cdot \mfr c = \mfr c^{\alnul}$, $(2^\mfr c)^{2^\mfr c}=2^{2^\mfr c}$). Dokázali sme ešte niektoré tvrdenia o umocňovaní kardinálov: $a\le b \land c\ne 0 \Rightarrow c^a\le c^b$; $a^{b+c}=a^b.a^c$.

[Martin Sleziak]

9. cvičenie (1.12):
Dnes sme stihli iba tieto dva príklady:

• Nech $\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\N}{\mathbb N}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}S=\Q\times\Q$. Ukážte, že existujú množiny $V$, $H$ také, že $S=V\cup H$, prienik $V$ sa každou vertikálnou priamkou v~rovine $\R^2$ je konečný a prienik $H$ sa každou horizontálnou priamkou je konečný. (T.j.~pre každé $x\in\Q$ sú množiny $\{y\in\Q; (x,y)\in V\}=\{x\}\times\Q \cap V$ aj $\{y\in\Q; (y,x)\in H\}=\Q\times\{x\}\cap H$ konečné.) Hint: Vedeli by ste podobné tvrdenie dokázať pre $\N$ namiesto $\Q$?
• Nech $f\colon{\R}\to{\R}$ je funkcia taká, že pre každé $x\in\R$ platí $f(f(x))=x$. Dokážte, že existuje iracionálne číslo, ktoré sa funkciou $f$ zobrazí na iracionálne číslo.