Skúška správnosti pre lin. sústavy

[Martin Sleziak]

Dnes sme sa trochu na cviku rozprávali o tom, ako sa dá pre systémy lineárnych rovníc robiť skúška správnosti.

Pozrime sa na konkrétny príklad - ako jednu z prednáškových úloh sme dnes riešili sústavu:
$
\begin{array}{ccccc}
4x_1 & -6x_2 & +2x_3 & +3x_4 &=2 \\
2x_1 & -3x_2 & +5x_3 & +7x_4 &=1\\
2x_1 & -3x_2 & -11x_3& -15x_4 &= 1
\end{array}
$

Je to úloha 2.2.9(2) v LAG1.

Po zápise do matice a úpravách dostanem
$
\left(\begin{array}{cccc|c}
4 & -6 & 2 & 3 & 2 \\
2 & -3 & 5 & 7 & 1 \\
2 & -3 & -11 & -15 & 1
\end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|c}
4 & -6 & 2 & 3 & 2 \\
2 & -3 & 5 & 7 & 1 \\
4 & -6 & -6 & -8 & 2
\end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|c}
4 & -6 & 2 & 3 & 2 \\
2 & -3 & 5 & 7 & 1 \\
0 & 0 & -8 & -11 & 0
\end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|c}
2 & -3 & 5 & 7 & 1 \\
0 & 0 & -8 & -11 & 0 \\
0 & 0 & -8 & -11 & 0
\end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|c}
2 & -3 & 5 & 7 & 1 \\
0 & 0 & -8 & -11 & 0 \\
0 & 0 & -8 & -11 & 0
\end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|c}
2 & -3 & 5 & 7 & 1 \\
0 & 0 & 8 & 11 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|c}
2 & -3 & 5 & 7 & 1 \\
0 & 0 & 1 & \frac{11}8 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|c}
2 & -3 & 0 & \frac1{8} & 1 \\
0 & 0 & 1 & \frac{11}8 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & -\frac32 & 0 & \frac1{16} & \frac12 \\
0 & 0 & 1 & \frac{11}8 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)$

Ak zvolíme $x_2=2s$ a $x_4=16t$, tak dostávame $x_3=-22t$ a $x_1=\frac12+3s-t$.
(Volil som premenné v takomto tvare, aby som nedostal zlomky. V princípe som kľudne mohol dať aj $x_2=s$ a $x_4=t$, množina riešení by sa tým nezmenila.)
Máme teda množinu riešení $\underline{\underline{\{(\frac12+3s-t,2s,-22t,16t); s,t\in\mathbb R\}}}$.
(Všimnite si, že riešenie je iné, ako nám vyšlo na cviku resp. ako je napísané v knihe. Je možné, že sú oba zápisy riešenia správne?)

Jedna možnosť je dosadiť do pôvodných rovníc naozaj priamo výrazy $x_1=\frac12+3s-t$, $x_2=2s$, $x_3=-22t$, $x_4=16t$ a upravovať.

Sú aj iné možnosti ako urobiť skúšku?

Keď veci rátame ručne, azda sa nám lepšie počíta s číslami ako s takýmito výrazmi. Ak dosadíme nejaké konkrétne hodnoty za $s$ a $t$, tak dostaneme nejaké konkrétne čísla, pre ktoré môžeme overiť, či spĺňajú zadanú sústavu. Stále však nemáme istotu, čo to bude platiť pre ľubovoľné $s$ a $t$. (Mohli sme mať štastie a akurát natrafiť na takú dvojicu, kde to funguje.)
Platí ale, že ak vyskúšame tieto 3 dvojice:
* $s=0$, $t=0$;
* $s=1$, $t=0$;
* $s=0$, $t=1$;
tak potom to už musí platiť pre ľubovoľné $s$ a $t$. (Ak by sme mali viac parametrov, tak by sme dostali viacej vecí, ktoré treba preskúšať. Môžete sa zamyslieť nad tým, aké trojice by ste skúšali pre tri parametre a prečo to vlastne funguje. Myslím si, že tieto veci by mohli byť o čosi jasnejšie neskôr, keď sa niečo naučíte o štruktúre množiny riešení lineárneho systému.)

Všimnime si, že môžeme prepísať každé riešenie do tvaru
$(\frac12+3s-t,2s,-22t,16t)=(\frac12,0,0,0)+s(3,2,0,0)+t(-1,0-22,16)$.
Ako prvú vec môžeme skontrolovať, že $(\frac12,0,0,0)$ je skutočne riešením danej sústavy.
Ďalej môžeme skontrolovať, že vektory $(3,2,0,0)$ a $(-1,0-22,16)$ sú riešeniami podobnej sústavy, kde pravé strany nahradíme nulami. Toto už stačí na to, aby všetky prvky uvedenej množiny boli skutočne riešeniami. (Môžete sa zamyslieť nad tým prečo. Neskôr takéto niečo bude aj na prednáške, keď sa budete učiť o homogénnych a nehomogénnych systémoch. (Pridám aj linku na súčasnú revíziu článku na Wikipédii.)

[Martin Sleziak]

Ďalšiu vec, ktorú sme spomínali, že ak skúška nevyjde, tak môžeme hľadať chybu aj takým spôsobom, že urobíme skúšku nielen pre pôvodnú sústavu, ale aj pre niektoré zo sústav, ktoré nám vyšli ako medzivýsledky.

Ak sa nám podarí nájsť úpravu takú, že pre maticu pred touto úpravou skúška nevychádza a pre maticu po úprave skúška sedí, tak v tejto úprave musí byť chyba. (Nevýhoda je, že takto nájdem poslednú chybu od konca. Ak som urobil chýb viacero, budem sa musieť viackrát vrátiť.)

[Martin Sleziak]

A ešte doplním, že keď riešite nejakú úlohu doma, tak si môžete pomôcť (pri overovaní riešenia, hľadaní chyby, keď chcete nejakú sústavu vyriešiť rýchlejšie) aj nejakým softvérom, ktorý vie takéto veci rátať (Mathematica, Maple, Matlab, Octave a pod.) Sú aj nástroje, ktoré sú dostupné online, takže ak budete používať tie, nemusíte nič inštalovať.

Chceme od vás, aby ste sa naučili sústavy riešiť aj ručne, bež použitia rôznych programov. (Napríklad z toho dôvodu, že takýmto spôsobom si lineárne sústavy a rôzne ich vlastnosti lepšie "ohmatáte" a snáď budete do lineárky lepšie vidieť.) Ale ak si pri precvičovaní viete pomôcť nejakým softvérom (napríklad na nájdenie chyby, alebo na kontrolu, či riešenie, ktoré chcete prezentovať, je naozaj správne), tak na tom nie je nič zlé. Skôr naopak, keď sa naučíte používať takéto veci, môže to byť pre vás aj v budúcnosti užitočné.