10. prednáška (1.12.):
Kardinalita $\mathbb R$. Najprv sme si ukázali na základe diagonálneho argumentu, že množina reálnych čísel je nespočítateľná. (Príklad 4.5.4 v poznámkach k prednáške.)
Potom sme dokázali, že $|\mathbb R|=\mathfrak c$. (Dôkaz som robil trochu inak ako v texte k prednáške - robil som v desiatkovej sústave, nie v dvojkovej. Navyše som nedokazoval, že čísla s konečným rozvojom sú jediný prípad, kedy má číslo nejednoznačný zápis. Pre dyadický - dvojkový - zápis je táto vec v texte k prednáške dokázaná detailne. Tento dôkaz nebudem skúšať. Koho by však zaujímalo, prečo to takto funguje, tak sa naň môže pozrieť.)
Spomenuli sme ešte, že množina všetkých spojitých zobrazení z $\mathbb R$ do $\mathbb R$ má kardinalitu $\mathfrak c$. Nerobil som dôkaz - nebudem ho ani skúšať.
Aplikácie kardinálnych čísel. Existencia transcendentných čísel. Existencia nevypočítateľných funkcií.
Peanove axiómy. Sformulovali sme Peanove axiómy. Ukázali sme tvrdenie 5.1.2 - každý prvok N je buď 0 alebo nasledovník.
Prednášky ZS 2014/15
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2014/15
11. prednáška (8.12.):
Dnes sme zhruba prvú polovicu trojhodinovky písali písomku.
Peanove axiómy: Ukázali sme si, ako sa dá definovať sčitovanie. Dokázal som komutatívnosť. (Veľmi chaoticky, keďže sa mi tam podarilo zazmätkovať - lepšie je pozrieť si dôkaz v poznámkach.) Už poriadne sme dokázali asociatívnosť.
Spomenuli sme si, ako sa dá zadefinovať nerovnosť a násobenie. Ich vlastnosti sme však už nedokazovali.
Nedokazoval som ani to, že sčitovanie je dvoma vlastnosťami ($a+0=a$, $a+S(b)=S(a+b)$) jednoznačne určené. V texte k prednáške je nejaký dôkaz všeobecnejšieho výsledku - koho by to zaujímalo, môže si ho pozrieť.
Dnes sme zhruba prvú polovicu trojhodinovky písali písomku.
Peanove axiómy: Ukázali sme si, ako sa dá definovať sčitovanie. Dokázal som komutatívnosť. (Veľmi chaoticky, keďže sa mi tam podarilo zazmätkovať - lepšie je pozrieť si dôkaz v poznámkach.) Už poriadne sme dokázali asociatívnosť.
Spomenuli sme si, ako sa dá zadefinovať nerovnosť a násobenie. Ich vlastnosti sme však už nedokazovali.
Nedokazoval som ani to, že sčitovanie je dvoma vlastnosťami ($a+0=a$, $a+S(b)=S(a+b)$) jednoznačne určené. V texte k prednáške je nejaký dôkaz všeobecnejšieho výsledku - koho by to zaujímalo, môže si ho pozrieť.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2014/15
12. prednáška (15.12.):
Konštrukcia prirodzených čísel v ZFC. Prirodzené čísla ako najmenšia induktívna množina. Dokázali sme, že $(\mathbb N,\emptyset,S)$ spĺňa Peanove axiómy. Ukázali sme aj to, že s reláciou $\in$ (resp. s reláciou $\subseteq$) takto dostaneme dobre usporiadanú množinu.
Relatívna konzistentnosť. Na konci som ešte trochu porozprával o tom, čo znamená relatívna konzistentnosť. Povedali sme si o relatívnej konzistentnosti axiómy výberu (AC sa nedá dokázať ani vyvrátiť v ZF) a hypotézy kontinua (CH sa nedá dokázať ani vyvrátiť v ZFC).
Konštrukcia prirodzených čísel v ZFC. Prirodzené čísla ako najmenšia induktívna množina. Dokázali sme, že $(\mathbb N,\emptyset,S)$ spĺňa Peanove axiómy. Ukázali sme aj to, že s reláciou $\in$ (resp. s reláciou $\subseteq$) takto dostaneme dobre usporiadanú množinu.
Relatívna konzistentnosť. Na konci som ešte trochu porozprával o tom, čo znamená relatívna konzistentnosť. Povedali sme si o relatívnej konzistentnosti axiómy výberu (AC sa nedá dokázať ani vyvrátiť v ZF) a hypotézy kontinua (CH sa nedá dokázať ani vyvrátiť v ZFC).