Determinant - geometrický význam

[Martin Sleziak]

Dnes som sa trochu snažil hovoriť na cviku o tom, čo determinant znamená geometricky. Snáď trochu bude o tom reč aj na prednáške.

Determinant ako objem

Na determinant sa dá pozerať - až na znamienko - ako na objem n-rozmerného rovnobežnostena určeného riadkami matice.

Pre n=2 a n=3 by to nemalo byť ťažké spočítať ak poznáte vektorový súčin. (Tento výpočet môžete nájsť napríklad na začiatku kapitoly o determinantoch v tomto texte.)
Aj ak ste sa o vektorovom súčine neučili, zrátať to pre n=2 by malo byť zvládnuteľné.

Iný argument, prečo by to mal byť objem, je, že to funguje pre jednotkovú kocku a každý rovnobežnosten z nej vieme dostať preškálovaním a skosením.

Pridám aj nejaké linky:
* Determinants Seen Geometrically - Wolfram Demonstrations
* What's an intuitive way to think about the determinant?
* Why determinant is volume of parallelepiped in any dimensions
* Explain $\iint \mathrm dx\,\mathrm dy = \iint r \,\mathrm \,d\alpha\,\mathrm dr$

Determinant matice lineárneho zobrazenia
Determinant matice lineárneho zobrazenia nám teda hovorí, koľkokrát sa zväčší objem, ak zobrazíme n-rozmernú jednotkovú kocku. Pretože ide o lineárne zobrazenie, tak sa rovnako správa aj k iným útvarom. Teda determinant mi hovorí, ako mení dané lineárne zobrazenie objem útvaru.

Jacobián
Toto je užitočné v analýze viac premenných. Pri výpočte integrálu substitúciou budete potrebovať Jacobián alebo Jacobiho determinant. Základná idea je tá, že funkciu, s ktorou rátame, lokálne aproximujeme lineárnou funkciou. Pre lineárnu funkciu vieme povedať, ako sa zmení objem.

Opäť nejaké linky:
* Wikipedia
* Simple proof of integration in polar coordinates?
* Prove or disprove this calculus limit result by geometric approach

Tu je linka na podobný topic v časti fóra k inému predmetu: viewtopic.php?t=1621

[Martin Sleziak]

Špeciálne pre $2\times2$ tu je linka, ktorá bola na dnešnom cviku: Why determinant of a 2 by 2 matrix is the area of a parallelogram?