Pretoze sa tato otazka objavila minuly tyzden na prednaske a zda sa, ze s tym bol problem aj v niektorych odovzdanych domacich, tak sa este zastavim pri otazke zjednotenie viacerych mnozin vs. zjednotenie systemu mnozin. Ide konkretne o rozdiel medzi zapismi $\bigcup A$ a $A\cup B$.
V suvislosti s axiomou zjednotenia sme definovali zjednotenie ako:
$$\bigcup A=\{x; (\exists a\in A) x\in a\}.$$
Cize $\bigcup A$ je mnozina tych prvkov, ktore patria do niektorej z mnozin patriacich do $A$. Toto ma samozrejme zmysel iba ak $A$ obsahuje mnoziny. V ramci axiomatickej teorie mnozin je to ok - tam sme sa dohodli, ze s inymi objektami ako mnozinami nepracujeme. (Vsetko je mnozina.)
Pri tejto definicii teda neplati $\bigcup A=A$. (Podla domacich uloh sa zdalo, ze niektori sa pozerate na zjednotenie v takomto zmysle ako na "zjednotenie jednej mnoziny", teda prvky patriace do $A$. Samozrejme, dala by sa zadefinovat aj takato operacia, ale my sme $\bigcup A$ definovali inak.)
Vsimnime si, ze pri tejto definicie mame:
$$\bigcup\{A,B\}=A\cup B=\{x; x\in A\land x\in B\}.$$
(Zapis $\bigcup\{A,B\}$ totiz obsahuje presne tie prvky, ktore patria do niektorej z mnozin leziacich v $\{A,B\}$, to su ale prave mnoziny $A$ a $B$).
Vdaka tomu sme mohli existenciu zjednotenia dokazat pomocou axiomy dvojice a axiomy zjednotenia ukazat existenciu zjednotenia dvoch mnozin.
Podobne tieto dva zapisy znamenaju to iste:
$$\bigcup_{i\in I} A_i= \bigcup\{A_i; i\in I\}= \{x; (\exists i\in I) x\in A_i\}.$$
Vid. aj clanok na Wikipedii, konkretne casti union of two sets a Arbitrary unions.
O zjednoteni
Moderator: Martin Sleziak