Komplexné čísla ako matice

[Martin Sleziak]

Ako ukážku toho, že ste sa naučili tento semester veľa vecí, ktoré môžu zjednodušiť rôzne veci, si ukážme ešte raz trochu inú konštrukciu komplexných čísel.

Všetky veci, ktoré tu budeme overovať by sme vedeli overiť aj bez použitia lineárnej algebry, takto sú ale oveľa jednoduchšie.

Pridám aj zopár liniek:
* Complex numbers as Matrices
* Wikipédia: Matrix representation of complex numbers (resp. aktuálna verzia - pre prípad, že sa v budúcnosti štruktúra článku zmení a pôvodná linka už nebude fungovať)
* Why is the complex number $z=a+bi$ equivalent to the matrix form $\left(\begin{smallmatrix}a &-b\\b&a\end{smallmatrix}\right)$
* Relation of this antisymmetric matrix $r = \left(\begin{smallmatrix}0 &1\\-1&0\end{smallmatrix}\right)$ to $i$
* History of the matrix representation of complex numbers
* Poznámky z lineárnej algebry pre odbor aplikovaná informatika (P. Prešnajder) (Zdá sa, že táto linka už nefunguje - tu je linka na Wayback Machine.)

[Martin Sleziak]

Okruh matíc$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}
\newcommand{\R}{\mathbb R}$


Poďme sa pozrieť na to, čo by sme vedeli povedať o množine matíc
$M=\{\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}; a,b\in\R\}$
s operáciami sčitovania a násobenia matíc. Overíme, že $(M,+,\cdot)$ je pole.

Binárne operácie. Vcelku ľahko vidno, že $+$ je binárna operácia na množine $M$. Pozrime sa na násobenie:
$\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c&d\\-d&c\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}ac-bd&ad+bc\\-ad-bc&ac-bd\end{pmatrix}$.
Dostali sme opäť maticu uvedeného tvaru.
Môžeme si rovno všimúť aj to, že násobenie na tejto množine je komutatívne:
$\begin{pmatrix}c&d\\-d&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}ac-bd&ad+bc\\-ad-bc&ac-bd\end{pmatrix}$.

$(M,+)$ je komutatívna grupa
Sčitovanie matíc je asociatívne a komutatívne.
Neutrálny prvok: $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\in M$.
Inverzný prvok: $-\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-a&-b\\b&-a\end{pmatrix}\in M$.

Distibutívnosť
Platí všeobecne pre matice.

$(M^*,\cdot)$ je komutatívna grupa
Násobenie matíc je asociatívne. Už sme si všimli, že pre matice z tejto množiny je aj komutatívne.
Neutrálny prvok: $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\in M$.

Inverzný prvok
Vidíme, že jediná otázka, ktorá nie je jasná na prvý pohľad, je to, či pre $A\in M^*$ platí aj $\inv A\in M^*$.
Všimnime si, že
$\det \begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix} = a^2+b^2$.
Teda ak aspoň jedno z čísel a, b je nenulové, tak má táto matica nenulový determinant a teda k nej bude existovať inverzná matica.
Navyše pre matice $2\times2$ vieme inverznú maticu počítať jednoducho (v tomto prípade sa vypočíta adjungovaná matica veľmi jednoducho):
$\inv{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$
Špeciálne pre matice z $M^*$ dostaneme:
$\inv{\begin{pmatrix}a&b\\-a&b\end{pmatrix}}=\frac1{a^2+b^2}\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}$.
Vidíme, že inverzná matica opäť patrí do $M^*$. (Aj sme našli predpis ako ju vypočítame.)

Ako to súvisí s komplexnými číslami

Porovnaním operácií zistíme, že zobrazenie $a+bi\mapsto \begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}$ z $\mathbb C$ do $M$ zachováva operácie:
$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+c)i$
$\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c&d\\-d&c\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}a+c&b+d\\-b-d&a+c\end{pmatrix}$
$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
$\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c&d\\-d&c\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}ac-bd&ad+bc\\-ad-bc&ac-bd\end{pmatrix}$
Navyše aj komplexné čísla aj matice z $M$ sú jednoznačne určené dvojicami reálnych čísel. Ide teda o bijekciu.
Teda tieto dve štruktúry sú izomorfné. Ak sme o jednej ukázali, že to je pole, musí to platiť aj o druhej.
(Použitie izomorfizmu pri takomto type úvah som sa snažil vysvetliť aj tu: viewtopic.php?t=495 )

[Martin Sleziak]

Iný príklad, kde sa dali podobným spôsobom využiť matice, bol tento viewtopic.php?t=498

Zaujímavejšie sú asi kvaternióny.

Kvaternióny

Kvaternióny by sme mohli zaviesť do istej miery podobným spôsobom ako komplexné čísla. K reálnym číslam pridáme nejaké nové tri "imaginárne" odmocniny z $-1$, označíme ich $i$, $j$, $k$. Pre ne chceme aby platilo $i^2=j^2=k^2=-1$. Násobenie medzi týmito číslami definujeme podobne ako pri vektorovom súčine, t.j. $ij=k$, $ji=-k$, $jk=i$, $kj=-i$, $ki=j$, $ik=-j$.

Kvaternióny definujeme ako výrazy tvaru $a+bi+cj+dk$, $a,b,c,d\in\mathbb R$. Zo vzťahov, ktoré sme uviedli, sa dá domyslieť, ako definujeme násobenie
$(a_1+b_1i+c_1j+d_1k)(a_2+b_2i+c_2j+d_2k)$.

Kvaternióny majú veľa rôznych aplikácií. Pre nás by mohli byť zaujímavé aj ako príklad nekomutatívneho telesa.

Podobným spôsobom by ako pri komplexných číslach by ste si mali schopní byť rozmyslieť, že ich môžeme reprezentovať maticovo ako
$\begin{pmatrix}
a+bi & c+di \\
-c+di & a-bi
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
u & v \\
-\overline v & \overline u \\
\end{pmatrix}$
alebo ako
$\begin{pmatrix}
a & b & c & d \\
-b & a & -d & c \\
-c & d & a & -b \\
-d &-c & b & a
\end{pmatrix}$

Aj v tomto prípade nám maticové reprezentácia môže pomôcť jednoduchším spôsobom dokázať (alebo aj objaviť) niektoré vlastnosti kvaterniónov.