Domaca uloha 3

[Martin Sleziak]

Nejake poznamky k du3

Matematicka indukcia az po $\infty$?

Ak nejake tvrdenie dokazem pre kazde prirodzene cislo $n$, tak nemozem jednoducho povedat, ze plati aj pre $n=\infty$ a tvarit sa, ze dokaz funguje aj pre nekonecne systemy mnozin.

Podobne problemy boli aj s minulou ulohou.

Toto zadanie som dal do istej miery preto, aby ste si uvedomili tento rozdiel.

(Napriklad vyrok "Mnozina $\{1,2,\dots,n\}$ je konecna." plati pre kazde $n$. Ale nemozeme ho rozsirit pre $n$ iduce do nekonecna.)

Aby som to dal do kontextu s tym, o com sme hovorili na prednaske - uz viete, ze indukcia funguje aj na kazdej dobre usporiadanej mnozine. Cize skutocne by ste mohli robit dokazy indukciou pre mnozinu $\{1,2,\dots\}\cup\{\infty\}$. Indukcny krok pre $\infty$ by vsak musel vyzerat o dost inak, ako indukcny krok pre prirodzene cisla - pretoze $\infty$ nie je nasledovnikom ziadneho prvku z tejto mnoziny ($\infty$ neviem zapisat ako $n+1$ pre prirodzene cislo $n$).

Nespravnym pouzitim indukcie sa skutocne da dokazat kadeco - mozete si pozriet napriklad tento "dokaz" ze $0=1$ a zamysliet sa, ci viete najst, kde v nom je chyba.

Zjednotenie systemu mnozin

Kedze aj chyby takehoto typu sa vyskytli, tak zopakujem, ze zapisy
$$\bigcup_{i=1}^n A_i = \bigcup \{A_i; i=1,\dots,n\}$$
oznacuju presne to iste. (Su tam tie prvky, ktore patria do niektorej z mnozin $A_1,\dots, A_n$.)
Zapis $\bigcup A_n$ znamena uplne nieco ine. (Je to zjednotenie vsetkych mnozin, ktore su prvkami mnoziny $A_n$.)

[Martin Sleziak]

Este teda snad doplnim toto: Viacero odovzdanych rieseni bolo takych, ze to co ste spravili v prvej casti nijako nezaviselo na tom, ze tato mnozina je konecna. (Cize rovnaky argument by fungoval pre lubovolnu indexovu mnozinu, ci uz $i=\{0,1,\dots,n\}$ alebo $I=\mathbb N$.

Napriek tomu som nedal bod za druhu cast, ak ste odovzdali riesenie, kde bolo napisane, ze ked sme to ukazali pre kazde $n$, tak to musi byt pravda pre $\mathbb N$. (Ako som ukazal vyssie, takyto argument vo vseobecnosti nefunguje. V pripade, ze si myslite, ze v tomto specialnom pripade takyto typ argumentu prejde - t.j. tvrdenie sa nejako z konecnych mnozin da rozsirit na $\mathbb N$ - bolo tam treba napisat zdovodnenie. Myslim si vsak, ze zdovodnenie niecoho takehoto by bolo priblizne rovnako narocne ako dokazovat to priamo pre $\mathbb N$.)