V podstate sa dá povedať, že by som išiel z časti podľa poznámok na stránke (mám tam aj nejaké slajdy k veciam, z ktorých som v minulosti aspoň niektoré stihol). Ale v súvislosti s transfinitnou indukciou sa možno budem držať skôr tohoto textu. Mám na stránke ešte nejaké poznámky k Zornovej leme, tam sú však skôr dokázané nejaké veci, ktoré si vyžadujú vedieť pomerne veľa z matiky.
Čo by som chcel spraviť:
- Ako prípravu možno ešte zopakovať veci o dobre usporiadaných množinách, ktoré sme už mali.
- Ukázať tri ekvivalentné formulácie axiómy výberu (AC, WO - princíp dobrého usporiadania, ZL - Zornovu lemu). A aspoň sčasti (tie veci, kde dôkaz je ľahký) ukázať aj, že sú naozaj ekvivalentné.
- Ukázať nejaké aplikácie axiómy výberu.
- Povedať niečo o ordinálnych číslach a transfinitnej indukcii.
- Ukázať nejaké konkrétne aplikácie transfinitnej indukcie.
- Hamelova báza a Cauchyho funkcionálna rovnica. (Toto by mohla byť zaujímavá téma pre študentov učiteľstva, keďže funkcionálne rovnice sú typicky téma, ktorá sa vyskytuje na olympiádach. Táto téma si vyžaduje vedieť nejaké veci z lineárnej algeby.)
- Existencia nemerateľnej množiny.
- Ekvivalencia rôznych definícií spojitosti s tým, že by sme zdôraznili, kde sa tam využíva AC. (Toto by opäť bolo asi zaujímavé skôr pre študentov učiteľstva, ktorí to preberali na analýze.)
- Niečo o čiastočne usporiadaných množinách (existencia linearizácie, alebo existencia maximálneho antireťazca. (Tieto veci sú vhodná ukážka použitia Zornovej lemy - netreba tam žiadne prerekvizity, stačí vedieť niečo o čiastočných usporiadaniach.)
- Existencia voľných ultrafiltrov. (S nimi ste sa asi dosť často stretli na predmete teória množín a matematická logika - preto by toto mohlo byť zaujímavé pre filozofov.)
- Dôkaz, že pre nekonečné kardinály platí $a^2=a$.
- Existencia nejakých patologických podmožín roviny. Napr. silno Darbouxovská funkcia - tvrdenie 7.6.5 v poznámkach. Alebo existencia Mazurkiewiczovej množiny - množiny v rovine, ktorá pretína každú priamku práve v dvoch bodoch.)
- Dôkaz AC $\Rightarrow$ ZL.