Prednášky LS 2014/15

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorý z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. prednáška (11.2):
Euklidovský vektorový priestor. Definícia vektorového súčinu, príklady, základné vlastnosti. Definícia veľkosti vektora a jej vlastnosti (Schwarzova nerovnosť, trojuholníková nerovnosť). Uhol vektorov, kolmé (ortogonálne) vektory.
Cvičenie: Overenie, či zadaný predpis určuje skalárny súčin. (T.j. úlohy ako príklad 1.1.4, úloha 1.2.2).
Pre veľkosť odvodenú od skalárneho súčinu platí rovnobežníkové pravidlo (úloha 1.2.5b).

[Martin Sleziak]

2. prednáška (11.2):
Ortogonálny doplnok: Definícia. Základné vlastnosti ortogonálneho doplnku. (Je to podpriestor; ortogonálny doplnok obracia inklúzie; ortogonálny doplnok lineárneho obalu; $(S+T)^\bot=S^\bot\cap T^\bot$.
Ortonormálna báza: Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces a existencia ortonormálnej bázy. Každý vektor sa dá jednoznačne zapísať ako súčet vektora z $S$ a vektora z $S^\bot$. (T.j. $V=S\oplus S^\bot$.)

Cvičenie: Príklad na Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces. (Presne ten, čo je vyriešený v poznámkach.)
Ortogonálna projekcia je lineárne zobrazenie (úloha 1.2.11). Matica ortogonálne projekcie na jednorozmerný podpriestor (úloha 1.2.12b).

[Martin Sleziak]

3. prednáška (2.3):
Ortogonálny doplnok. Dokázali sme viaceré vlastnosti ortogonálneho doplnku, ktoré platia v konečnorozmerných priestoroch. (Spomenul som aj kontrapríklad ukazujúci, že niektoré z týchto vecí v nekonečnorozmerných priestoroch platiť nemusia. Nerobil som však detaily - koho by to zaujímalo, môže sa pozrieť v poznámkach k prednáške. Tento kontrapríklad však beriem ako učivo "navyše" - nebudem ho skúšať.)
Kvadratické formy. Definícia. Kongruentné matice. Každá kvadratická forma sa dá previesť na kanonický tvar. (Nerobil som dôkaz detailne, iba sme na prednáške naznačili ako sa robí indukčný krok. Všetky kroky dôkazu sme však videli na konkrétnych príkladoch.) Na viacerých príkladoch sme si ukázali dva rôzne spôsoby ako upraviť kvadratickú formu na kanonický tvar. (Doplnenie na štvorec, riadkové a stĺpcové operácie.)

[Martin Sleziak]

4. prednáška (2.3):
Zákon zotrvačnosti. Ukázali sme, že kanonický tvar kvadratickej formy je až na zámenu premenných jednoznačný.
Sylvestrovo kritérium. Ukázali sme si viacero podmienok ekvivalentných s tým, že daná symetrická matica je kladne definitná.

Na cviku som chvíľu hovoril niečo o tom, ako súvisí kladná (záporná) definitnosť s extrémami funkcií viac premenných.
Prerátali sme dve úlohy, kde bolo treba overiť, pre aké hodnoty parametra je matica kladne definitná. Nejakú úlohu takéhoto typu máte vyriešenú na fóre: viewtopic.php?f=34&t=289
Potom sme sa pozreli aspoň trochu na túto úlohu, ale nedokončili: viewtopic.php?f=34&t=203 (V poznámkach k prednáške v príklade na konci kapitoly môžete vidieť, že diagonálne hodnoty sú presne tie, ktoré nám vyšli v pomocnom tvrdení použitom pri odvodení Sylvestrovho kritéria.)

[Martin Sleziak]

5. prednáška (16.3.):
Matica prechodu. Definícia, matica prechodu opačným smerom, ako sa menia súradnice pri prechode k novej báze.
Matica zobrazenia pri danej báze. Definícia. Súradnice obrazu vektora. Ako vyzerá matica zobrazenia pri prechode k novej báze. Definícia podobnosti matíc.

Na cviku sme sa pozreli na pár príkladov týkajúcich sa podobnosti matíc (úloha 3.1.1 - je to relácia ekvivalencie, úlohy 3.1.3 a 3.1.6).
Potom sme dvoma spôsobmi zrátali maticu prechodu medzi dvoma konkrétne zadanými bázami - úloha 3.1.2.

[Martin Sleziak]

6. prednáška (23.3.):
Podobnosť s diagonálnou maticou. Vlastné čísla, vlastné vektory. Matica je podobná s diagonálnou práve vtedy, keď existuje báza zložená z vlastných vektorov. Vlastné vektory k rôznymi vlastným číslam sú lineárne nezávislé. Charakteristický polynóm - definícia, podobné matice majú rovnaký charakteristický polynóm, dôsledky pre stopu a determinant.

Na cvičení sme dokázali nejaké jednoduché veci o vlastných číslach a vlastných vektoroch (úlohy 3.2.2, 3.2.6, 3.2.7) a tiež vyrátali vlastné čísla, vlastné vektory, prípadne aj maticu prechodu a diagonálnu maticu pre niektoré konkrétne matice (úloha 3.2.1 a, e; úloha 3.2.9 a, b).

[Martin Sleziak]

7. prednáška (30.3.):
Ortogonálna podobnosť. Schurova veta. Symetrická matica je ortogonálne podobná s diagonálnou. Vlastné vektory zodpovedajúce rôznym vlastným hodnotám symetrickej matice sú na seba kolmé.
Cayley-Hamiltonova veta.
(Z kapitoly 3.2 som nehovoril o spektrálnom rozklade matice - k nemu sa vrátim neskôr.)

Na cvičení sme prerátali pár príkladov na nájdenie ortogonálne podobnej matice k danej symetrickej matici a nájdenie matice prechodu.

6.4. prednáška nebola (voľno - štátny sviatok).

[Martin Sleziak]

8. prednáška (13.4.):
Jordanov normálny tvar. Povedali sme si ako vyzerá Jordanov normálny tvar a vyslovili (bez dôkazu) vetu o tom, že každá matica je podobná s nejakou maticou v Jordanovom tvare (jednoznačne určenou až na poradie Jordanových blokov).

Dohodli sme sa, aké témy budú na písomke - na termíne sa skúsime dohodnúť najbližšie: viewtopic.php?t=638

Na cviku sme ešte skúsili prerátať niekoľko príkladov na nájdenie Jordanovho tvaru. (Stihli sme úlohy 3.4.1 d,e.)

[Martin Sleziak]

9. prednáška (20.4.):
Krivky druhého rádu. Popis ortogonálnych matíc $2\times2$ a zodpovedajúcich transformácií. Popis kriviek vyjadrených ako polynómy druhého stupňa v dvoch premenných. Invarianty kriviek druhého rádu (a ich vzťah k typu krivky). Dôkaz, že tieto krivky dostaneme ako prienik kužeľa a roviny.
V časti, kde sme sa zaoberali tým, aký typ krivky dostaneme v závislosti od vzájomnej polohy kužeľa a roviny, som sa zasekol pri tom, či je matica, ktorú používame, symetrická pre vhodnú voľbu $\vec u$ a $\vec v$ - ako sa však ukáže, bude symetrická vždy, bez ohľadu na voľbu týchto vektorov: viewtopic.php?t=239