1. týždeň
Povinné cviko (18.2.): Opakovali sme veci z minulého semestra - zápis množiny riešení sústavy, vzťah medzi riešeniami homogénneho a nehomogénneho systému. Ortogonálny doplnok, prienik a súčet priestorov. Prešli sme druhý a tretí príklad z tejto sady úloh.
Výberové cviko (19.2): Determinanty. Stihli sme príklady 1,2,3,4,13 z tejto sady úloh. Okrem toho sme zrátali nejakým spôsobom inverznú maticu k matici z úlohy 4. (Môžete si skúsiť rozmyslieť, či by ste vedeli tú istú maticu zrátať spôsobom, ktorý sme sa učili v prvom semestri.) Pridám ešte linku na prehľad základných faktov o determinantoch.
Cvičenia LS 2014/15 - 1MAT+1PMA1
Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2014/15 - 1MAT+1PMA1
2. týždeň
Povinné cviko (25.2.): Prešli sme prvú sadu prednáškových úloh: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/korbas/pulag/PU1.pdf
Stihli sme ešte jeden príklad na afinné súradnicové sústavy http://msleziak.com/vyuka/2014/lag2/01afin.pdf
Dôležité: Dohodli sme sa, že od budúceho týždňa bude povinné cviko bývať v utorok 14.00 v F1-328. (T.j. v čase, kde oficiálne v rozvrhu má skupina 1MAT matematickú analýzu.
Výberové cviko (26.2.): Robili sme príklady z tejto sady úloh: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/niepel/CV/u2.pdf
Konkrétne sme stihli úlohy 1, 2, 6, 8, 3.
Pripomeniem, že nejaké úlohy týkajúce sa kolmého priemetu sú aj vyriešené na fóre:
viewtopic.php?t=574
viewtopic.php?t=575
Narýchlo sme si povedali aj niečo k úlohe 4. Konkrétne sme si povedali jednu inklúziu z $U^\bot\cap V^\bot = (U+V)^\bot$. Dôkaz tohoto tvrdenia máte aj v LAG1 ako vetu 7.4.2c alebo aj tu.
O rovnosti $(U\cap V)^\bot = U^\bot + V^\bot$ sme si povedali, že platí iba v konečnorozmerných priestoroch. Jednu inklúziu sme ukázali (tú, kde predpoklad o konečnorozmernosti netreba). Spomenuli sme, že z predošlej rovnosti dostaneme túto rovnosť pomerne ľahko viacnásobným využitím faktu $S^{\bot\bot}=S$ (ktorý platí pre ľubovoľný podpriestor konečnorozmerného euklidovského priestoru.) Opäť sa môžete pozrieť do LAG1, kde to je uvedené ako veta 7.7.1c alebo aj tu.
Kontrapríklad ukazujúci, že v nekonečnorozmernom priestore už táto rovnosť platiť nemusí by nebol úplne jednoduchý - hlavne z toho dôvodu, že s nekonečnorozmernými priestormi so skalárnym súčinom sme v ZS nerobili skoro vôbec, takže nemáme veľa príkladov, ktoré by sme mohli skúšať.
Budúci týždeň bude na začiatku cvika písomka. Na písomke budú dva príklady z tém, ktorými sme sa zatiaľ zaoberali: determinanty, priestory so skalárnym súčinom.
Povinné cviko (25.2.): Prešli sme prvú sadu prednáškových úloh: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/korbas/pulag/PU1.pdf
Stihli sme ešte jeden príklad na afinné súradnicové sústavy http://msleziak.com/vyuka/2014/lag2/01afin.pdf
Dôležité: Dohodli sme sa, že od budúceho týždňa bude povinné cviko bývať v utorok 14.00 v F1-328. (T.j. v čase, kde oficiálne v rozvrhu má skupina 1MAT matematickú analýzu.
Výberové cviko (26.2.): Robili sme príklady z tejto sady úloh: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/niepel/CV/u2.pdf
Konkrétne sme stihli úlohy 1, 2, 6, 8, 3.
Pripomeniem, že nejaké úlohy týkajúce sa kolmého priemetu sú aj vyriešené na fóre:
viewtopic.php?t=574
viewtopic.php?t=575
Narýchlo sme si povedali aj niečo k úlohe 4. Konkrétne sme si povedali jednu inklúziu z $U^\bot\cap V^\bot = (U+V)^\bot$. Dôkaz tohoto tvrdenia máte aj v LAG1 ako vetu 7.4.2c alebo aj tu.
O rovnosti $(U\cap V)^\bot = U^\bot + V^\bot$ sme si povedali, že platí iba v konečnorozmerných priestoroch. Jednu inklúziu sme ukázali (tú, kde predpoklad o konečnorozmernosti netreba). Spomenuli sme, že z predošlej rovnosti dostaneme túto rovnosť pomerne ľahko viacnásobným využitím faktu $S^{\bot\bot}=S$ (ktorý platí pre ľubovoľný podpriestor konečnorozmerného euklidovského priestoru.) Opäť sa môžete pozrieť do LAG1, kde to je uvedené ako veta 7.7.1c alebo aj tu.
Kontrapríklad ukazujúci, že v nekonečnorozmernom priestore už táto rovnosť platiť nemusí by nebol úplne jednoduchý - hlavne z toho dôvodu, že s nekonečnorozmernými priestormi so skalárnym súčinom sme v ZS nerobili skoro vôbec, takže nemáme veľa príkladov, ktoré by sme mohli skúšať.
Budúci týždeň bude na začiatku cvika písomka. Na písomke budú dva príklady z tém, ktorými sme sa zatiaľ zaoberali: determinanty, priestory so skalárnym súčinom.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2014/15 - 1MAT+1PMA1
3. týždeň
Povinné cviko (3.3.): Prednáškové úlohy http://thales.doa.fmph.uniba.sk/korbas/pulag/PU2.pdf
Stihli sme úlohu 1 (dôkazy o afinných priestoroch), úlohu 8 a 3 (na barycentrické súradnice), úlohu 5 a 6 (tieto dôkazy sú aj v skriptách).
K niektorým z prednáškových úloh, ktoré sme nestihli sa ešte možno vrátime.
Výberové cviko (5.3.): Po písomke sme sa pozreli na úlohy z tejto sady: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/niepel/CV/u3.pdf
Stihli sme úlohy 1,2,3. (Ak zvýši čas, ešte sa možno k niečomu z tejto sady vrátime.)
Viaceré zaujímavé úlohy, ktoré sme nestihli, sa týkajú uhlopriečok, ťažísk a podobne. V nich je dôležité si uvedomiť, že si môžeme vhodne zvoliť afinnú súradnicovú sústavu, v ktorej sa nám bude ľahšie počítať.
Posledná úloha je asi vcelku zaujímavá (asi aspoň pre ľudí, ktorých baví geometria), ale nie celkom jednoduchá. Ak si ju niekto chce vyskúšať, tak pridám niečo, čo môže pomôcť. (Ale možno nájdete aj úplne iné riešenia.) Skúste sa zamyslieť nad týmto: Mám trojuholník $ABC$ a vnútri tohoto trojuholníka mám bod $P$. Označme $S_1$, $S_2$, $S_3$ plochy trojuholníkov $PBC$, $APC$ a $ABP$. Potom tento bod môžeme zapísať ako barycentrickú kombináciu $\frac{S_1A+S_2B+S_3C}{S_1+S_2+S_3}$. (Aj keď na úplné riešenie tejto úlohy sa budete musieť asi zamyslieť aj nad tým, ako je to, keď $P$ nie je vo vnútri trojuhlínka.)
Povinné cviko (3.3.): Prednáškové úlohy http://thales.doa.fmph.uniba.sk/korbas/pulag/PU2.pdf
Stihli sme úlohu 1 (dôkazy o afinných priestoroch), úlohu 8 a 3 (na barycentrické súradnice), úlohu 5 a 6 (tieto dôkazy sú aj v skriptách).
K niektorým z prednáškových úloh, ktoré sme nestihli sa ešte možno vrátime.
Výberové cviko (5.3.): Po písomke sme sa pozreli na úlohy z tejto sady: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/niepel/CV/u3.pdf
Stihli sme úlohy 1,2,3. (Ak zvýši čas, ešte sa možno k niečomu z tejto sady vrátime.)
Viaceré zaujímavé úlohy, ktoré sme nestihli, sa týkajú uhlopriečok, ťažísk a podobne. V nich je dôležité si uvedomiť, že si môžeme vhodne zvoliť afinnú súradnicovú sústavu, v ktorej sa nám bude ľahšie počítať.
Posledná úloha je asi vcelku zaujímavá (asi aspoň pre ľudí, ktorých baví geometria), ale nie celkom jednoduchá. Ak si ju niekto chce vyskúšať, tak pridám niečo, čo môže pomôcť. (Ale možno nájdete aj úplne iné riešenia.) Skúste sa zamyslieť nad týmto: Mám trojuholník $ABC$ a vnútri tohoto trojuholníka mám bod $P$. Označme $S_1$, $S_2$, $S_3$ plochy trojuholníkov $PBC$, $APC$ a $ABP$. Potom tento bod môžeme zapísať ako barycentrickú kombináciu $\frac{S_1A+S_2B+S_3C}{S_1+S_2+S_3}$. (Aj keď na úplné riešenie tejto úlohy sa budete musieť asi zamyslieť aj nad tým, ako je to, keď $P$ nie je vo vnútri trojuhlínka.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2014/15 - 1MAT+1PMA1
4. týždeň
Povinné cviko:
Prednáškové úlohy http://thales.doa.fmph.uniba.sk/korbas/pulag/PU3.pdf
Stihli sme prvé 4 príklady.
Výberové cviko:
Ešte sme sa vrátili k úlohe z minula - o priesečníku uhlopriečok v rovnobežnostene.
Dokončili sme prednáškové úlohy PU3.
Riešili sme ešte nejaké úlohy na vzájomné polohy. Konkrétne sme stihli úlohy 1a a 8 z tejto sady úloh: http://msleziak.com/vyuka/2014/lag2/02vzaj.pdf
Budúci týždeň bude na výberovom cviku písomka. Témy písomky sú afinné priestory, afinné podpriestory (afinné zobrazenia, afinné a barycentrické súradnice, parametrické a analytické vyjadrenie, vzájomné polohy afinných podpriestorov a pod.)
Povinné cviko:
Prednáškové úlohy http://thales.doa.fmph.uniba.sk/korbas/pulag/PU3.pdf
Stihli sme prvé 4 príklady.
Výberové cviko:
Ešte sme sa vrátili k úlohe z minula - o priesečníku uhlopriečok v rovnobežnostene.
Dokončili sme prednáškové úlohy PU3.
Riešili sme ešte nejaké úlohy na vzájomné polohy. Konkrétne sme stihli úlohy 1a a 8 z tejto sady úloh: http://msleziak.com/vyuka/2014/lag2/02vzaj.pdf
Budúci týždeň bude na výberovom cviku písomka. Témy písomky sú afinné priestory, afinné podpriestory (afinné zobrazenia, afinné a barycentrické súradnice, parametrické a analytické vyjadrenie, vzájomné polohy afinných podpriestorov a pod.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2014/15 - 1MAT+1PMA1
5. týždeň
Povinné cviko:
Prešli sme prednáškové úlohy č. 4. Pri úlohe 2 (priamka rovnobežná s rovinou) sme vyrátali aj ich vzdialenosť.
Na konci, keďže sme už mali jednu takú maticu napísanú na tabuli, tak som niečo povedal o permutačných maticiach.
Výberové cviko:
Po písomke sme sa pozreli na úlohy z tejto sady: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/niepel/CV/u5.pdf
Stihli sme úlohy 2 a 3. (V úlohe 2 sme použili bod $X=(2,2,-10,1)$. Niečo k tej úlohe je napísané aj tu: viewtopic.php?f=29&t=622 )
Povinné cviko:
Prešli sme prednáškové úlohy č. 4. Pri úlohe 2 (priamka rovnobežná s rovinou) sme vyrátali aj ich vzdialenosť.
Na konci, keďže sme už mali jednu takú maticu napísanú na tabuli, tak som niečo povedal o permutačných maticiach.
Výberové cviko:
Po písomke sme sa pozreli na úlohy z tejto sady: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/niepel/CV/u5.pdf
Stihli sme úlohy 2 a 3. (V úlohe 2 sme použili bod $X=(2,2,-10,1)$. Niečo k tej úlohe je napísané aj tu: viewtopic.php?f=29&t=622 )
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2014/15 - 1MAT+1PMA1
6. týždeň
Povinné cviko: (24.3.)
Prednáškové úlohy č. 5. Stihli sme úlohy 1,2,6. (Aspoň úlohy 3,4 by sme chceli urobiť na výberovom cviku.)
Rozprávali sme sa o tom, ako sa počíta vzdialenosť dvoch afinných podpriestorov. Prerátali sme úlohu 8b z http://msleziak.com/vyuka/2014/lag2/04vzdial.pdf
Výberové cviko: (26.3.)
Dokončili sme prednáškové úlohy. Z http://msleziak.com/vyuka/2014/lag2/04vzdial.pdf sme urobili úlohu 4 z časti o kolmosti a úlohu 3 z časti o vzdialenostiach. Ešte na konci sme sa rozprávali trochu o osi uhla a o strede vpísanej kružnice trojuholníka.
Povinné cviko: (24.3.)
Prednáškové úlohy č. 5. Stihli sme úlohy 1,2,6. (Aspoň úlohy 3,4 by sme chceli urobiť na výberovom cviku.)
Rozprávali sme sa o tom, ako sa počíta vzdialenosť dvoch afinných podpriestorov. Prerátali sme úlohu 8b z http://msleziak.com/vyuka/2014/lag2/04vzdial.pdf
Výberové cviko: (26.3.)
Dokončili sme prednáškové úlohy. Z http://msleziak.com/vyuka/2014/lag2/04vzdial.pdf sme urobili úlohu 4 z časti o kolmosti a úlohu 3 z časti o vzdialenostiach. Ešte na konci sme sa rozprávali trochu o osi uhla a o strede vpísanej kružnice trojuholníka.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2014/15 - 1MAT+1PMA1
7. týždeň
Povinné cviko: (31.3.)
Preriešili sme prednáškové úlohy 6.
Výberové cviko odpadlo. (Voľno.)
Povinné cviko: (31.3.)
Preriešili sme prednáškové úlohy 6.
Výberové cviko odpadlo. (Voľno.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2014/15 - 1MAT+1PMA1
8. týždeň
Povinnné cviko odpadlo. (Voľno.)
Výberové cviko: (9.4.)
Z tejto sady úloh sme stihli úlohy 1a, 1b, 2: http://msleziak.com/vyuka/2014/lag2/05podob.pdf
(T.j. úlohy typu - pre dané matice zistite ich vlastné čísla, vlastné vektory, zistite, či sú podobné.)
Na budúcom cviku je písomka. Mali by ste na ňu vedieť veci o podobnosti, vlastných hodnotách, vlastných vektoroch, charakteristickom polynóme.
Povinnné cviko odpadlo. (Voľno.)
Výberové cviko: (9.4.)
Z tejto sady úloh sme stihli úlohy 1a, 1b, 2: http://msleziak.com/vyuka/2014/lag2/05podob.pdf
(T.j. úlohy typu - pre dané matice zistite ich vlastné čísla, vlastné vektory, zistite, či sú podobné.)
Na budúcom cviku je písomka. Mali by ste na ňu vedieť veci o podobnosti, vlastných hodnotách, vlastných vektoroch, charakteristickom polynóme.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2014/15 - 1MAT+1PMA1
9. týždeň
Povinné cviko: (14.4.)
Preriešili sme prednáškové úlohy 7 - s výnimkou úlohy 4, ktorá zostala na štvrtok.
Výberové cviko: (16.4.)
Písali sme písomku na vlastné vektory a podobnosť. (Keď ju budem mať opravenú, napíšem k nej niečo aj na fórum.) viewtopic.php?f=29&t=642
Odvodili sme si, kde sa vyskytujú v charakteristickom polynóme stopa a determinant a tiež ako súvisia so súčtom/súčinom vlastných čísel.
Potom sme sa ešte raz venovali príkladom z minulého štvrtku (zistiť, či sú dané 2 matice podobné) - keďže ste sa na ne pýtali.
Ak si chcete pozrieť, čo som pôvodne chcel robiť na dnešnom cviku, tak som chcel:
* buď prejsť pár príkladov odtiaľto: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/niepel/CV/u8.pdf
* alebo skúsiť ukázať odvodenie nejakých vecí o Fibonacciho číslach: viewtopic.php?t=640
Ešte k poslednému príkladu, ktorý sme dnes robili - nevyšiel nám preto, že ako pravé strany som omylom dosadil vlastné vektory matice A (mali tam byť vlastné vektory matice B). Cviko už takmer končilo, takže sme nestihli ani nájsť chybu ani ju opraviť. (Ale postup výpočtu je snáď jasný - takže kto chce, ten si to azda bude vedieť dorátať ďalej sám.)
A opäť pripomeniem to, čo som už viackrát hovoril - niektoré veci budeme vedieť zdôvodniť ľahšie, keď už budeme mať k dispozícii vetu o Jordanovom normálnom tvare.
Povinné cviko: (14.4.)
Preriešili sme prednáškové úlohy 7 - s výnimkou úlohy 4, ktorá zostala na štvrtok.
Výberové cviko: (16.4.)
Písali sme písomku na vlastné vektory a podobnosť. (Keď ju budem mať opravenú, napíšem k nej niečo aj na fórum.) viewtopic.php?f=29&t=642
Odvodili sme si, kde sa vyskytujú v charakteristickom polynóme stopa a determinant a tiež ako súvisia so súčtom/súčinom vlastných čísel.
Potom sme sa ešte raz venovali príkladom z minulého štvrtku (zistiť, či sú dané 2 matice podobné) - keďže ste sa na ne pýtali.
Ak si chcete pozrieť, čo som pôvodne chcel robiť na dnešnom cviku, tak som chcel:
* buď prejsť pár príkladov odtiaľto: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/niepel/CV/u8.pdf
* alebo skúsiť ukázať odvodenie nejakých vecí o Fibonacciho číslach: viewtopic.php?t=640
Ešte k poslednému príkladu, ktorý sme dnes robili - nevyšiel nám preto, že ako pravé strany som omylom dosadil vlastné vektory matice A (mali tam byť vlastné vektory matice B). Cviko už takmer končilo, takže sme nestihli ani nájsť chybu ani ju opraviť. (Ale postup výpočtu je snáď jasný - takže kto chce, ten si to azda bude vedieť dorátať ďalej sám.)
A opäť pripomeniem to, čo som už viackrát hovoril - niektoré veci budeme vedieť zdôvodniť ľahšie, keď už budeme mať k dispozícii vetu o Jordanovom normálnom tvare.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2014/15 - 1MAT+1PMA1
10. týždeň
Povinné cviko: (21.4.)
Riešili sme prednáškové úlohy 8, nestihli sme z nich úlohy 5 a 7.
Rozprávali sme sa aj o tom, ako vyzerajú mocniny matice zapísané v Jordanovom normálnom tvare a tiež o tom, čo sa deje s mocninami matice $J-\lambda I$, kde $\lambda$ je vlastná hodnota.
* Wikipédia: https://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_normal_form#Powers
* MSE: Why does the n-th power of a Jordan matrix involve the binomial coefficient?
Pri jednej z úloh sa nám hodilo vedieť o blokových maticiach, že pre determinanty platí:
$\begin{vmatrix}
A&0\\
B&C\end{vmatrix}=|A|\cdot|C|$
Môžete sa zamyslieť nad tým, či to viete dokázať. Možno na začiatok je jednoduchšíe skúsiť dokázať
$\begin{vmatrix}
A&0\\
0&C\end{vmatrix}=|A|\cdot|C|$.
Opäť pridám aj nejaké linky:
* http://math.stackexchange.com/questions ... eterminant
* http://math.stackexchange.com/questions ... lar-matrix
(A veľmi teoreticky, ak by bol čas, tak sa k tomu ešte môžeme vrátiť na niektorom z cvičení.)
Výberové cviko: (21.4.)
Ešte sme sa vrátili k PÚ 8/5. Pre zaujímavosť môžeme spomenúť, že matica v tejto úlohe je Hadamardova matica rozmeru 4. Takéto matice súvisia s Hadamardovou hypotézou, čo je pomerne známy otvorený problém.
Riešili sme úlohy z tejto sady: http://msleziak.com/vyuka/2014/lag2/06jordan.pdf
Konkrétne sme sa venovali úlohe 5 - zistiť ako vyzerá Jordanov tvar, ak vieme nejaké fakty o matici $A$.
A potom sme ešte stihli dve úlohy na nájdenie Jordanovho tvaru pre zadanú maticu - jednu úlohu na Jordanov tvar nájdete vyriešenú tu: viewtopic.php?f=29&t=656
Na konci cvika sme sa ešte pozreli na úlohu vyrátať $A^n$ pre zadanú maticu $A$ (a pomerne veľké číslo $n$): viewtopic.php?t=658
Budúci týždeň je na výberovom cviku písomka - treba vedieť Jordanov tvar a s tým súvisiace veci.
Povinné cviko: (21.4.)
Riešili sme prednáškové úlohy 8, nestihli sme z nich úlohy 5 a 7.
Rozprávali sme sa aj o tom, ako vyzerajú mocniny matice zapísané v Jordanovom normálnom tvare a tiež o tom, čo sa deje s mocninami matice $J-\lambda I$, kde $\lambda$ je vlastná hodnota.
* Wikipédia: https://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_normal_form#Powers
* MSE: Why does the n-th power of a Jordan matrix involve the binomial coefficient?
Pri jednej z úloh sa nám hodilo vedieť o blokových maticiach, že pre determinanty platí:
$\begin{vmatrix}
A&0\\
B&C\end{vmatrix}=|A|\cdot|C|$
Môžete sa zamyslieť nad tým, či to viete dokázať. Možno na začiatok je jednoduchšíe skúsiť dokázať
$\begin{vmatrix}
A&0\\
0&C\end{vmatrix}=|A|\cdot|C|$.
Opäť pridám aj nejaké linky:
* http://math.stackexchange.com/questions ... eterminant
* http://math.stackexchange.com/questions ... lar-matrix
(A veľmi teoreticky, ak by bol čas, tak sa k tomu ešte môžeme vrátiť na niektorom z cvičení.)
Výberové cviko: (21.4.)
Ešte sme sa vrátili k PÚ 8/5. Pre zaujímavosť môžeme spomenúť, že matica v tejto úlohe je Hadamardova matica rozmeru 4. Takéto matice súvisia s Hadamardovou hypotézou, čo je pomerne známy otvorený problém.
Riešili sme úlohy z tejto sady: http://msleziak.com/vyuka/2014/lag2/06jordan.pdf
Konkrétne sme sa venovali úlohe 5 - zistiť ako vyzerá Jordanov tvar, ak vieme nejaké fakty o matici $A$.
A potom sme ešte stihli dve úlohy na nájdenie Jordanovho tvaru pre zadanú maticu - jednu úlohu na Jordanov tvar nájdete vyriešenú tu: viewtopic.php?f=29&t=656
Na konci cvika sme sa ešte pozreli na úlohu vyrátať $A^n$ pre zadanú maticu $A$ (a pomerne veľké číslo $n$): viewtopic.php?t=658
Budúci týždeň je na výberovom cviku písomka - treba vedieť Jordanov tvar a s tým súvisiace veci.