Sucin surjekcii, injekcii, bijekcii

[Martin Sleziak]

Ďalšie cvičenie, čo bolo na minulom cviku, je vyriešené aj v skriptách. Skopírujem ho sem pre prípad, že by k nemu boli nejaké otázky.

Nech $f:A\to C$, $g:B\to D$ sú zobrazenia.

• Ak $f$ aj $g$ sú injekcie, tak $f\times g$ je injekcia.
• Ak $f$ aj $g$ sú surjekcie, tak $f\times g$ je surjekcia.
• Ak $f$ aj $g$ sú bijekcie, tak $f\times g$ je bijekcia.

Pripomeňme, že zobrazenie $f\times g: A\times B \to C\times D$ je definované takto:
$$f\times g(a,b)=(f(a),g(b)).$$


Dôkaz.
(i) Nech $f$ a $g$ sú injekcie. Ak platí $f\times g(a,b)=f\times g(a',b')$, znamená to, že $(f(a),g(b))=(f(a'),g(b'))$, čiže $f(a)=f(a')$, $g(b)=g(b')$. Z injektívnosti zobrazení $f$, $g$ potom máme $a=a'$, $b=b'$ a $(a,b)=(a',b')$.

(ii) Nech $f$, $g$ sú surjekcie a $(c,d)\in C\times D$. Potom existujú $a\in A$ a $b\in B$ tak, že $f(a)=c$, $g(b)=d$. Z toho máme, že $f\times g(a,b)=(c,d)$. Ukázali sme, že pre ľubovoľné $(c,d)$ existuje vzor, a teda zobrazenie $f\times g$ je surjektívne.

(iii) Vyplýva z častí (i) a (ii).