Možno začnime tým, že si skúsme zjednodušiť vektory generujúce podpriestor $S$. (Možno sa nám bude s nimi dať ľahšie počítať. Budeme vedieť aj dimenziu priestoru $S$.)V $\mathbb R^4$ so štandadrdným skalárnym súčinom nájdite kolmý priemet vektora $(8,2,0,2)$ do $S=[(1,2,2,-1),(1,1,-5,3),(3,2,8,-7)]$.
$\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 2 &-1 \\
1 & 1 &-5 & 3 \\
3 & 2 & 8 &-7
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 2 &-1 \\
1 & 1 &-5 & 3 \\
2 & 0 & 6 &-6
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 2 &-1 \\
1 & 1 &-5 & 3 \\
1 & 0 & 3 &-3
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 3 &-3 \\
1 & 2 & 2 &-1 \\
1 & 1 &-5 & 3
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 3 &-3 \\
0 & 2 &-1 & 2 \\
0 & 1 &-8 & 6
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 3 &-3 \\
0 & 0 &15 &-10 \\
0 & 1 &-8 & 6
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 3 &-3 \\
0 & 0 & 1 &-\frac23 \\
0 & 1 &-8 & 6
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 &-\frac23 \\
0 & 1 & 0 & \frac23
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 &-1 \\
0 & 1 & 0 & \frac23 \\
0 & 0 & 1 &-\frac23 \\
\end{array}
\right)$
Vidíme teda, že $S=[(1,0,0,-1),(0,1,0,\frac23),(0,0,1,-\frac23)]$.
Cez sústavu rovníc
Vektor $\vec x=(8,2,0,2)$ chceme napísať ako súčet vektora z $S$ a vektora z $S^\bot$.
T.j. chceli by sme nájsť vhodné koeficienty $a$, $b$, $c$ tak aby vektor
$\vec x_2=(8,2,0,2)-a(1,0,0,-1)-b(0,1,0,\frac23)-c(0,0,1,-\frac23)=(8-a,2-b,-c,2+a-\frac23b+\frac23c)$
patril do $S^\bot$.
(Tým sme vlastne vyjeadrili to, že chceme $\vec x=\vec x_1+\vec x_2$, pričom $\vec x_1$ má byť tvaru $a(1,0,0,-1)+b(0,1,0,\frac23)+c(0,0,1,-\frac23)$, aby patril do $S$; a vektor $\vec x_2$ má byť kolmý na $S$.)
Pre vektor $\vec x_2$ máme tri podmienky - jeho skalárny súčin s každým z vektorov generujúcich $S$ má byť rovný $0$. Dostaneme teda sústavu 3 rovníc:
$$
\begin{aligned}
(8-a)-(2+a-\frac23b+\frac23c) &=0\\
(2-b)+\frac23(2+a-\frac23b+\frac23c) &=0\\
-c-\frac23(2+a-\frac23b+\frac23c) &=0
\end{aligned}
$$
Aby sme nemuseli robiť so zlomkami, môžeme prvú rovnicu vynásobiť troma; druhú a tretiu rovnicu prenásobiť deviatimi:
$$
\begin{aligned}
3(8-a)-(6+3a-2b+2c) &=0\\
9(2-b)+2(6+3a-2b+2c) &=0\\
-9c-2(6+3a-2b+2c) &=0
\end{aligned}
$$
Po úprave:
$$
\begin{aligned}
-6a+2b-2c &= -18\\
6a-13b+4c &= -30\\
-6a+4b-13c&= 12
\end{aligned}
$$
Riešením tejto sústavy dostaneme $a=5$, $b=4$, $c=-2$.
Keď teraz vyrátame
$\vec x_1=5(1,0,0,-1)+4(0,1,0,\frac23)-2(0,0,1,-\frac23)=(5,4,-2,-1)$
$\vec x_2=\vec x-\vec x_1=(8,2,0,2)-(5,4,-2,-1)=(3,-2,2,3)$
tak sa môžeme presvedčiť, že vektor $\vec x_2$ naozaj patrí do $S^\bot$. (Tým, že ho vyskúšame skalárne vynásobiť s vektormi generujúcimi $S$.)
Vektor $\vec x_1$ je hľadaný kolmý priemet.
Ortonormálna báza
Mohli by sme skúsiť z bázy priestoru $S$ vyrobiť ortornomálnu bázu. Pre každý z vektorov ortonormálnej bázy by sme vedeli vyrátať kolmý priemet na podpriestor generovaný týmto vektorom ľahko - pomocou skalárneho súčinu. Potom by stačilo tieto priemety sčítať.
Tento postup by bol asi zdĺhavý - pravdepodobne v ortonormálnej báze nevyjdú veľmi pekné čísla. (Neskúšal som.)
Môžeme však vyskúšať podobný postup pre $S^\bot$.
Priemet na doplnok
Keďže priestor $S$ má dimenziu tri, dimenzia jeho doplnku $S^\bot$ musí byť $1$. Skúsme vyrátať ako vyzerá doplnok. Do doplnku patria vlastne riešenia homogénnej sústavy s maticou:
$\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 &-1 \\
0 & 1 & 0 & \frac23 \\
0 & 0 & 1 &-\frac23 \\
\end{array}
\right)$
Teda $S^\bot=[(3,-2,2,3)]$.
Označme $\vec a=(3,-2,2,3)$. Potom $|\vec a|=\sqrt{3^2+2^2+2^2+3^2}=\sqrt{26}$ a vektor $\vec b=\frac{\vec a}{|\vec a|}$ je vektor generujúci ten istý priestor, ktorý má veľkosť $1$. Inak povedané, tento vektor tvorí ortonormálnu bázu podpriestoru $S^\bot$.
Vedeli by sme vyrátať priemet vektora $\vec x$ do smeru vektora $\vec b$? Má to byť násobok $\vec b$, ktorého dĺžka je presne skalárny súčin $\langle \vec x, \vec b\rangle$. Počítajme:
$\langle \vec x, \vec b\rangle=\frac1{\sqrt{26}} \langle \vec x, \vec a \rangle = \frac1{\sqrt{26}} \langle (8,2,0,2), (3,-2,2,3)\rangle =
\frac1{\sqrt{26}}(24-4+6)=\sqrt{26}$
$\vec x_2= \sqrt{26} \vec b = \sqrt{26} \frac{\vec a}{\sqrt 26}= \vec a = (3,-2,2,3)$
Našli sme $\vec x_2$, t.j. priemet daného vektora $S^\bot$. (Všimnime si, že nám vyšiel rovnako ako predchádzajúcim postupom.)
Priemet do $S$ už ľahko dorátame:
$\vec x_1=\vec x-\vec x_2= (8,2,0,2)-(3,-2,2,3)=(5,4,-2,-1)$