Prednášky LS 2014/15

[Martin Sleziak]

Sem sa budem snažiť písať, čo sa prebralo na jednotlivých prednáškach. (Budem sa to snažiť robiť tak, aby sa to tu objavilo nie neskôr ako týždeň po prednáške.)

Môže to byť užitočné pre ľudí, ktorí vymeškajú prednášku - aby vedeli, čo si majú doštudovať. A azda aj na udržanie nejakého všeobecného prehľadu, čo sa už prebralo.

Toto vlákno by som chcel používať pre tento jeden konkrétny účel - ak budete mať nejaké otázky k veciam, čo odzneli na niektorej prednáške, otvorte, prosím, nový topic.

[Martin Sleziak]

1. prednáška (16.2.):

Afinné priestory. Pojem afinného priestoru. Základné vlastnosti, dve ekvivalentné definície. Afinný podpriestor. Afinný súradnicový systém, súradnice bodu/vektora.

(T.j. skončilo sa pred vetou 1.5 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.)

[Martin Sleziak]

2. prednáška (23.2.): Afinné zobrazenia, afinný izomorfizmus. Barycentrická kombinácia, barycentrický súradnicový systém.

Na prednáške už neboli vety 11.7 a 11.8 z Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie - k nim by sme sa mali dostať na cvičení. (Mali by sa objaviť v prednáškových úlohách.)

[Martin Sleziak]

3. prednáška (2.3.): Parametrické a všeobecné vyjadrenie afinného podpriestoru. Vzájomné polohy afinných podpriestorov. Príklad ukazujúci, že v $(\mathbb R^4,\mathbb R^4)$ môže nastať aj prípad, že podpriestory nie sú rovnobežne, rôznobežné ani mimobežné.

(T.j. skončilo sa pred vetou 11.11 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.)

[Martin Sleziak]

4. prednáška (9.3.): Vzájomné polohy afinných podpriestorov. Zmena súradníc. Orientácia reálneho vektorového/afinného priestoru.

(T.j. po koniec kapitoly 11 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.)

[Martin Sleziak]

5. prednáška (16.3.):
Afinno-euklidovské priestory. Definícoia AEP, definícia vzdialenosti.
Kolmosť vektora na afinný podpriestor, normálový vektor nadroviny. Kolmosť afinných podpriestorov.
Kolmý priemet bodu. Definícia vzdialenosti afinných podpriestorov. Vzdialenosť od bod od afinného podpriestoru je rovná vzdialenosti od kolmého priemetu. (Toto tvrdenie bolo na prednáške len vyslovené, ešte nebol dôkaz.)

T.j. po vetu 12.10 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.

[Martin Sleziak]

6. prednáška (23.3.):
Vzdialenosti. Vzdialenosť rovnobežných afinných podpriestorov, rovnobežných nadrovín. Vzdialenosť mimobežných afinných podpriestorov.
Uhly. Uhol medzi afinnými podpriestormi v $\mathbb E^n$.
Vektorový súčin v $\mathbb R^3$. Definícia, geometrický význam, vyjadrenie $\vec a\times\vec b$ pomocou súradníc vektorov $\vec a$, $\vec b$.

T.j. po vetu 12.14 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie.

[Martin Sleziak]

7. prednáška (30.3.):
Vektorový súčin a zmiešaný súčin. Vektorový súčin - dokončenie z minula. Zmiešaný súčin.
Podobnosť matíc. Matica lineárnej transformácie vzhľadom na danú bázu. Podobnosť matíc. Vlastné hodnoty a vlastné vektory. Číslo $\lambda$ je vlastná hodnota matice $A$ práve vtedy, keď $\det(A-\lambda I)=0$.

T.j. po vetu 13.6 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie. (Resp. asi aj o trochu ďalej; hoci o pojme charakteristického polynómu ste ešte nehovorili, už sa vlastne vyskytol v podobe determinantu $\chi_A(t)=\det(tI-A)$.)

6.4. prednáška odpadne (štátny sviatok).

[Martin Sleziak]

7. prednáška (13.4.):
Charakteristický polynóm. Definícia. Vzťah k stope a determinantu. Podobné matice majú ten istý charakteristický polynóm. Symetrická matic má reálne vlastné hodnoty.
Podobnosť s diagonálnou maticou.
Niektoré vlastnosti polynómov.
T.j. po vetu 13.16 v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie

[Martin Sleziak]

8. prednáška (20.4.):
Jordanov normálny tvar. Zovšeobecnené vlastné vektory, veta o Jordanovom normálnom tvare.
Kvadratické formy. Definícia, vyjadrenie pomocou symetrickej matice.
(T.j. zhruba po vetu 14.1. v Korbaš, Gyürki: Prednášky z lineárnej algebry a geometrie - táto veta však ešte nebola dokázaná.)