Druhá písomka - afinné zobrazenie

[Martin Sleziak]

Zadanie z dnešnej náhradnej písomky:

Ak existuje, nájdite aspoň jedno afinné zobrazenie $f\colon{\mathbb R^3}\to{\mathbb R^2}$ také, že $f(A_i)=B_i$ pre\\
$A_0=(1,1,-1)$, $B_0=(3,2)$;
$A_1=(0,1,-2)$, $B_1=(2,3)$;
$A_2=(1,1,0)$, $B_2=(3,1)$;
$A_3=(0,-1,2)$, $B_3=(0,1)$.
(Pod "nájdite" sa rozumie "napíšte predpis" takéhoto zobrazenia.)

Vieme, že pre afinnú a vektorovú zložku afinného zobrazenia má platiť
$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}\varphi(\vekt{XY})=\vekt{f(X)f(Y)}$.
Teda vektorová zložka musí vektor $\vekt{A_0A_i}$ zobraziť na $\vekt{B_0B_i}$. Začneme teda tým, že nájdeme lineárne zobrazenie spĺňajúce tieto podmienky.

$\left(\begin{array}{ccc|cc}
-1 & 0 &-1 &-1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 &-1 \\
-1 &-2 & 3 &-3 &-1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cc}
-1 & 0 & 0 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 &-1 \\
-1 &-2 & 0 &-3 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &-2 & 0 &-2 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 &-1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 0 &-1
\end{array}\right)$

Zistili sme, že takéto lineárne zobrazenie je lineárne zobrazenie s maticou $A=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 &-1 \\
0 &-1
\end{pmatrix}
$.

Hľadané afinné zobrazenie je potom určené ako $f(X)=B_0+\varphi(\vekt{A_0X})$.

$$f(x,y,z)=(3,2)+(x-1,y-1,z+1)A=(3,2)+(x-1+(y-1),-(y-1)-(z+1))=(1+x+y,2-y-z).$$

[Martin Sleziak]

Časté chyby

Všetci, čo ste túto úlohu riešili ste si napísali, že
$
\left(\begin{array}{ccc|cc}
1 & 1 &-1 & 3 & 2 \\
0 & 1 &-2 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 0 & 3 & 1 \\
0 &-1 & 2 & 0 & 1
\end{array}\right)
$
a potom postupovali riadkovými úpravami. T.j. postupovali ste ako pri hľadaní lineárneho zobrazenia, ktoré spĺňa $f(A_i)=B_i$.
Ak by takéto zobrazenie existovalo, tak je súčasne aj afinné zobrazenie. (Afinné zobrazenie z~$\mathbb R^3$ do $\mathbb R^2$ bude lineárne zobrazenie ak $f(0,0,0)=(0,0)$.)
Ak ste správne postupovali ďalej, tak ste zistili, že takéto lineárne zobrazenie neexistuje. (Muselo by zobraziť nulu na nenulový vektor.)
Ako ste však videli v riešení, ktoré som uviedol vyššie, afinné zobrazenie s takýmito vlastnosťami stále môže existovať.

Dával som za takéto riešenie 1 bod. (Nie je to správne riešenie, ale zrátali ste aspoň niečo trochu súvisiace s tým, na čo som sa pýtal. A tiež som ochotný uznať, že som v zadaní mohol radšej napísať $(f,\varphi)$; tým by som zdôraznil, že afinné zobrazenie má aj vektorovú zložku, možno by bola väčšia šanca, že si spomeniete na definíciu afinného zobrazenia.)

[Martin Sleziak]

Pozrime sa ešte na inú možnosť ako riešiť takýto typ úlohy.
Vieme, že afinné zobrazenia zachovávajú barycentrické kombinácie. Ak by sme teda nejaký bod mali vyjadrený ako barycentrickú kombináciu bodov $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$, tak jeho obraz je barycentrická kombinácia bodov $B_0$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ s rovnakýcmi koefientami.

Pozrime sa najprv na to, že ak máme daný bod $P=(x,y,z)$, či vieme nájsť koeficienty pomocou ktorých sa dá vyjadriť ako barycentrická kombinácia bodov $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$
$\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & x \\
1 & 1 & 1 &-1 & y \\
-1 &-2 & 0 & 2 & z
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & x \\
0 & 0 & 0 &-2 &-1+y \\
-1 &-2 & 0 & 2 & z
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & x \\
0 & 0 & 0 & 1 & \frac12-\frac12y \\
-1 &-2 & 0 & 2 & z
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 & \frac12+\frac12y \\
1 & 0 & 1 & 0 & x \\
0 & 0 & 0 & 1 & \frac12-\frac12y \\
-1 &-2 & 0 & 0 & -1+y+z
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
0 & 1 & 0 & 0 & \frac12-x+\frac12y \\
1 & 0 & 1 & 0 & x \\
0 & 0 & 0 & 1 & \frac12-\frac12y \\
-1 &-2 & 0 & 0 & -1+y+z
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1 & 0 & x \\
0 & 1 & 0 & 0 & \frac12-x+\frac12y \\
0 & 0 & 0 & 1 & \frac12-\frac12y \\
0 &-2 & 1 & 0 & -1+x+y+z
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1 & 0 & x \\
0 & 1 & 0 & 0 & \frac12-x+\frac12y \\
0 & 0 & 0 & 1 & \frac12-\frac12y \\
0 & 0 & 1 & 0 & -x+2y+z
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 & 2x-2y-z \\
0 & 1 & 0 & 0 & \frac12-x+\frac12y \\
0 & 0 & 1 & 0 & -x+2y+z \\
0 & 0 & 0 & 1 & \frac12-\frac12y
\end{array}\right)$

Pre obraz bodu $(x,y,z)$ potom dostaneme
\begin{align*}
f(x,y,z)&=(2x-2y-z)(3,2)+(\frac12-x+\frac12y)(2,3)+(-x+2y+z)(3,1)+(\frac12-\frac12y)(0,1)\\
&=(1+x+y,2-y-z)
\end{align*}