Priamku $p$ máme zadanú bodom $B=(1,3,1,0)$ a vektorom $\vec u=(-1,2,1,3)$.Nájdite najmenší afinný podpriestor $\mathbb R^4$, ktorý obsahuje bod $A=(-1,0,2,3)$ a priamku $p=\{(1-t, 3+2t,1+t,3t); t\in\mathbb R\}$. Napíšte jeho parametrické aj analytické vyjadrenie.
Afinný podpriestor obsahujúci $p$ aj $A$ musí obsahovať aj vektor
$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}\vec v=\vekt{BA}=(-2,-3,1,3)$
Hľadaný afinný podpriestor je presne podpriestor $B+[\vec u, \vec v]$. Toto nám po rozpísaní do súradníc dáva parametrické vyjadrenie.
Na nájdenie analytického vyjadrenia skúsme zjednodušiť vektorovú zložku
$
\begin{pmatrix}
-1 & 2 & 1 & 3 \\
-2 &-3 & 1 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 5 & 0 & 0 \\
-2 &-3 & 1 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 5 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 1 & 3
\end{pmatrix}
$
Vidíme, že napríklad vektory $(5,-1,7,0)$ a $(0,0,3,-1)$ sú kolmé na vektorovú zložku nášho afinného podpriestoru. Po dosadení niektorého bodu dostaneme analytické vyjadrenie:
$5x_1-x_2+7x_3=9$, $3x_3-x_4=3$.
Časté chyby
Ak chceme v $\mathbb R^4$ dostať dvojrozmerný objekt, potrebujeme dve rovnice. Čiže nájsť jednu rovnicu, ktorú spĺňajú všetky body, nestačí. Jedna rovnica nám dá nadrovinu, čiže podpriestor dimenzie 3.