Vl. vektory vs. lineárne ODE/rekurencie

[Martin Sleziak]

Toto je pokus ukázať vám nejaký typ úlohy, kde sa vlastné vektory veľmi prirodzene vyskytnú. (Dokonca by som si trúfol tipnúť, že keď by ste dostali takúto úlohu, tak by ste ju možno riešili spôsobom, ktorý spomínam nižšie a ktorý vlastne využíva vlastné vektory, aj keď to možno na prvý pohľad nevidno.)

Skúsme sa teda pozrieť na dve (pomerne podobné) úlohy.
Skúste sa najprv nad týmito úlohami zamyslieť.
Nižšie nájdete riešenie, ktoré nijako nevyužíva matice či vlastné vektory. A potom sa pozrieme na to, ako to celé s maticami a vlastnými vektormi súvisí.

Rekurencie

Máme postupnosti $(x_n)$ a $(y_n)$ určené rekurentným predpisom
$$
\begin{align*}
x_{n+1}&=x_n+2y_n\\
y_{n+1}&=2x_n+y_n
\end{align*}
$$
Malo by byť pomerne jasné, že ak máme zadané $x_0$ a $y_0$, tak už sú postupnosti $(x_n)$ a $(y_n)$ týmito podmienkami

Diferenciálne rovnice

Predstavte si, že máte sústavu diferenciálnych rovníc:
$$
\begin{align*}
x'&=x+2y\\
y'&=2x+y
\end{align*}
$$
Inak povedané, chceli by sme nájsť diferencovateľné funkcie $x,y \colon \mathbb R \to \mathbb R$ také, že $x'(t)=x(t)+2y(t)$ a $y'(t)=2x(t)+y(t)$ platí pre každé $t\in\mathbb R$.

(Je možné, že niektorí z vás ste sa s diferenciálnymi rovnicami zatiaľ nikde nestretli. Aj tak možno nezaškodí ukázať si riešenie - prinajmenšom už všetci viete derivovať, takže ak sa nám podarí dostať k nejakému riešeniu, tak by ste mali byť schopní aspoň overiť, či $x(t)$ a $y(t)$ zadanej sústave naozaj vyhovujú.)

[Martin Sleziak]

Rekurencie

Skúsme zadané rekurencie
$$
\begin{align*}
x_{n+1}&=x_n+2y_n\\
y_{n+1}&=2x_n+y_n
\end{align*}
$$
trochu upraviť. Konkrétne ich skúsme sčítať a odčítať. Dostaneme:
$$
\begin{align*}
x_{n+1}+y_{n+1}&=3(x_n+y_n),\\
x_{n+1}-y_{n+1}&=-(x_n-y_n).
\end{align*}
$$
Vidíme, že ak si označíme $a_n:=x_n+y_n$, $b_n:=x_n-y_n$, tak pre postupnosti $(a_n)$, $(b_n)$ máme oveľa jednoduchšie rekurencie:
$a_{n+1}=3a_n$
$b_{n+1}=-b_n$
Z toho vcelku ľahko vidno (a dá sa to skontrolovať indukciou), že $a_n=a_03^n$, $b_n=b_0(-1)^n$.
Ak už poznáme $a_n$ aj $b_n$, tak z rovností
$x_n+y_n=a_n$
$x_n-y_n=b_n$
vieme vcelku ľahko vyjadriť
$x_n=\frac{a_n+b_n}2=\frac{a_03^n+b_0(-1)^n}2$
$y_n=\frac{a_n-b_n}2=\frac{a_03^n-b_0(-1)^n}2$

Takisto z $x_0$ a $y_0$, ak nám ich niekto zadá, vieme vyrátať $a_0$ a $b_0$.
Priamo dosadením sa môžete presvedčiť, že ľubovoľné postupnosti takéhoto tvaru vyhovujú rekurenciám z úlohy.

Diferenciálne rovnice

So zadanými diferenciálnymi rovnicami spravíme presne to isté, čo sme spravili pred chvíľou s rekurenciami. Z rovníc
$$
\begin{align*}
x'&=x+2y\\
y'&=2x+y
\end{align*}
$$
tak dostaneme
$$
\begin{align*}
(x+y)'&=3(x+y)\\
(x-y)'&=-(x-y)
\end{align*}
$$
teda ak označíme $f=x+y$ a $g=x-y$, tak tieto funkcie spĺňajú rovnice $f'=3f$ a $g'=-g$.
Riešenia týchto rovníc sú $f(t)=Ae^{3t}$ a $g(t)=Be^{-t}$, kde $A$, $B$ sú ľubovoľné konštanty. Z $f$ a $g$ vieme vyrátať $x$ a $y$.

[Martin Sleziak]

Ako to celé súvisí s maticami?

Všimnime si, že uvedené rekurencie môžeme zapísať ako
$$
\begin{pmatrix} x_{n+1}\\y_{n+1} \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_{n}\\y_{n} \end{pmatrix}
$$
Všimnime si, že $(1,1)$ je vlastný vektor uvedenej matice prislúchajúci vlastnému číslu $3$ a $(1,-1)$ je vlastný vektor prislúchajúci číslu $-1$.

Keby sme mali podobnú sústavu rekurencií/diferenciálnych rovníc, tak by sme ju tiež vedeli zapísať pomocou matice. Ak nájdeme vlastné vektory, môžeme použiť podobné úpravy, ako sme spomenuli vyššie. Vlastné vektory však vieme nájsť - nemusíme ich hádať. (V predošlom riešení sme si tipli, že sa oplatí rovnice sčítať a odčítať. Ak by sme potrebovali komplikovanejšiu lineárnu kombináciu, možno sa nám ju nepodarí uhádnuť.)

Ak je naša matica podobná s diagonálnou, tak takto nájdeme všetky riešenia.

Takéto veci sa ešte budete učiť na iných predmetoch - napríklad v súvislosti s diferenciálnymi rovnicami a ich sústavami.