Charakteristický polynómPre danú maticu $A$ nájdite jej charakteristický polynóm, všetky jej vlastné hodnoty a pre každú vlastnú hodnotu všetky (riadkové) vlastné vektory.
$A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}$
Poďme najprv skúsiť vyrátať charakteristický polynóm. Môžeme to skúsiť urobiť viacerými spôsobmi
$|xI-A|=
\begin{vmatrix}
x-1&-1 & 0 \\
-1 &x-1& 0 \\
0 &-1 &x-2
\end{vmatrix}=
(x-2)\begin{vmatrix}
x-1&-1 \\
-1 &x-1
\end{vmatrix}=
(x-2)[(x-1)^2-1]=
(x-2)(x^2-2x)=
(x-2)^2x$
$\begin{vmatrix}
x-1&-1 & 0 \\
-1 &x-1& 0 \\
0 &-1 &x-2
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
x &-x & 0 \\
-1 &x-1& 0 \\
0 &-1 &x-2
\end{vmatrix}=
x\begin{vmatrix}
1 &-1 & 0 \\
-1 &x-1& 0 \\
0 &-1 &x-2
\end{vmatrix}=
x\begin{vmatrix}
1 &-1 & 0 \\
0 &x-2& 0 \\
0 &-1 &x-2
\end{vmatrix}=
x\begin{vmatrix}
x-2& 0 \\
-1 &x-2
\end{vmatrix}=
x(x-2)^2$
Zistili sme, že vlastné čísla sú 0 a 2.
Vlastné vektory k 0.
$A^T=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
Riešenia tejto sústavy tvoria podpriestor $[(1,-1,1)]$.
Teda vlastné vektory k 0 sú nenulové násobky vektora $(1,-1,0)$.
Môžeme skontrolovať, že skutočne platí
$(1,-1,0)
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}=
(0,0,0)=0\cdot(1,-1,0)$.
Vlastné vektory k 2.
$(A-2I)^T=
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0 \\
1 &-1 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
Táto sústava má riešenia $[(1,1,0)]$.
Vlastné vektory k 2 sú nenulové násobky vektora $(1,1,0)$.
Môžeme sa presvedčiť, že skutočne platí
$(1,1,0)
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}=
(2,2,0)=2\cdot(1,1,0)$.
Jordanov tvar
Keď už máme zrátané nejaké veci, ktoré sa na to hodia, poďme sa pokúsiť dorátať Jordanov tvar a príslušnú maticu prechodu. (O Jordanovom tvare by ste sa mali učiť na najbližšej prednáške. Toto samozrejme už nebola vec, ktorú sme od vás na dnešnej písomke chceli. Dal som to sem ako ukážku, keďže to je vec, ktorú budeme na cvičeniach teraz dosť často rátať.)
Hľadáme zovšeobecnené vlastné vektory k vlastnej hodnote 2, t.j. zoberieme si maticu $(A-2I)^T$, ale pravá strana sústavy teraz bude určená vlastným vektorom, ktorý sme už vyrátali. Dostaneme:
$\left(\begin{array}{ccc|c}
-1 & 1 & 0 & 1 \\
1 &-1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 &-1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$
Vidíme, že jedno z riešení je $(0,1,2)$.
Môžeme sa presvedčiť, že
$(0,1,2)
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
=(1,3,4)=2\cdot(0,1,2)+(1,1,0)$.
To znamená, že v báze určenej vektormi $(1,1,0)$, $(0,1,2)$, $(1,-1,0)$ má zobrazenie $x\mapsto xA$ maticu
$$
J=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
a pre maticu
$$P=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
1 &-1 & 0
\end{pmatrix}
$$
platí $PAP^{-1}=J$.