Úloha 3.2.4

[FilipJanitor]

3.2.4 Dokážte, že každá menej ako 6 prvková grupa je komutatívna.

Aby bola grupa G nekomutatívna, musí platiť $\exists x,y \in G: x * y \neq y * x$ Je zrejmé, že musí platiť $x \neq y$ lebo potom by sa obe strany rovnali. Zároveň, keďže platí $ x * e = x$ a $ y * e = y $, tak ak by aspoň jeden z prvkov $x$ a $y$ bol rovný $e$ tak by sa obe strany rovnali tomu druhému prvku. Z podobného dôvodu platí, že ani $x*y$ ani $y*x$ sa nesmú rovnať jednému z prvkov $x$ alebo $y$, pretože zo zákonov o krátení v grupe vyplýva: $ x * y = x \implies y=e$ a $ x * y = y \implies x=e$ Teda nekomutatívna grupa musí obsahovať aspoň 5 nerovnakých prvkov - sú to $e, x, y, y*x, x*y$ To však samo o sebe nestačí, lebo 5 prvková grupa je podľa dôsledku 3.2.16 cyklická. Každý jej prvok je teda nejaká mocnina jej generátoru, a preto platí $ x * y = a^n * a^m = a^{n + m} = a^{m+n} = a^m * a^n = y * x$ Čiže je komutatívna. Preto nekomutatívna grupa musí mať aspoň 6 prvkov.

[jaroslav.gurican]

OK, 1 bod. JG
Je to veľmi zaujímavý dôkaz.
Štandardnejší postup je asi taký, že keďže 2, 3 a 5 sú prvočísla, vieme, že grupy ktoré majú 2, 3 a/alebo 5 prvkov sú cyklické a teda komutatívne. Na tej istej prednáške, kde sme dokázali toto tvrdenie (že každá grupa, ktorej počet prvkov je prvočíslo je cyklická a teda aj komutatívna) sme dokázali, že grupu, ktoré majú 4 prvky sú izomorfné buď so $Z_4$ alebo $Z_2\times Z_2$, ktoré sú obe komutatívne a tým sme prebrali všetky číslo menšie ako 6 (ok, okrem čísla 1, ale jednoprvková grupa je samozrejme komutatívna).