Úloha 3.2.6

[FilipJanitor]

3.2.6 Dokážte, že každá 8-prvková grupa obsahuje dvojprvkovú podgrupu.

Lagrangeova veta hovorí, že počet prvkov podgrupy $H$ delí počet prvkov grupy $G$. 8 prvková grupa $G$ teda môže mať podgrupy s počtami prvkov $1, 2$ alebo $4$. Dokážme, že 2 prvková podgrupa sa tam určite nachádza. Dvojprvková podgrupa musí byť uzavretá na operáciu a obsahovať prvok $e$, teda musí platiť, že $a*a=e$, teda jej jediný neneutrálny prvok musí byť sám sebe inverzný ($a * a = a \implies a=e$ a teda by grupa bola jednoprvková, preto musí platiť $a*a=e$). Zároveň, grupa G má 8 prvkov, teda párny počet a podľa tu riešenej úlohy 2.1.6 obsahuje prvok, ktorý je sám sebe inverzný. Potom tento prvok spolu s neutrálnym tvoria dvojprvkovú podgrupu

[jaroslav.gurican]

Pekne. 1 bod. JG