1. písomka - os uhla

[Martin Sleziak]

Nájdite analytické a parametrické vyjadrenie priamky, ktorá tvorí os uhla $\angle CAB$ pre
$A=(1,5)$, $B=(0,-2)$, $C=(3,3)$.

Táto úloha bola o čosi ťažšia ako ostatné dve v tom zmysle, že v ostatných úlohách vlastne stačilo úplne presne aplikovať postup, ktorý sme sa naučili na cviku. Tu bolo treba aspoň niečo aj vymyslieť.

Výsledky

Všeobecná rovnica:
$3x+y=8$

Parametrické vyjadrenie:
$x=1+t$
$y=5-3t$

[Martin Sleziak]

Riešenia$\newcommand{\abs}[1]{|#1|} \newcommand{\skl}[2]{\langle #1,#2 \rangle} \newcommand{\skal}[2]{\langle \overrightarrow{#1},\overrightarrow{#2} \rangle} \newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand{\vek}[1]{\vec{#1}}$

Úloha sa dala riešiť rôznymi spôsobmi.

Stred medzi jednotkovými vektorom

Ak zoberieme jednotkové vektory v smeroch $\vekt{AB}$ a $\vekt{AC}$, tak dostaneme rovnoramenný trojuholník. Pre rovnoramenný trojuholník sa zhodujú os uhla, výška a ťažnica; stačí nám teda zobrať spojinicu $A$ a stredu medzi koncami týchto vektorov.
(Nie je dôležité to, že sme zobrali práve jednotkové vektory - treba ale zobrať vektory rovnakej dĺžky.)

Aby ste si vedeli situáciu predstaviť, asi pomôže, ak si nakreslíte obrázok.

Jednotkový vektor v smere $\vekt{AB}$ je $\vek u = \frac1{5\sqrt2}(-1,-7)$. Jednotkový vektor v smere $AC$ je $\vek v=\frac1{\sqrt2}(1,-1)$.

Jednotkový vektor v smere osi uhla teda dostaneme ako
$\frac{\vek u + \vek v}2 = \frac1{\sqrt2}(\frac25,-\frac65)=\frac2{5\sqrt2}(1,-3)$.

Zistili sme teda, že smerový vektor osi uhla je $(1,-3)$. Ak už poznáme smerový vektor a bod, vieme dostať parametrické vyjadrenie.

Rovnaká vzdialenosť

Máme priamku $p=\overleftrightarrow{AB}$ určenú rovnicou $7x-y-2=0$. Ďalej máme priamku $q=\overleftrightarrow{AC}$ určenú rovnicou $x+y-6=0$.

Os uhla obsahuje body, ktoré sú rovnako vzdialené od oboch priamok. Dostaneme tak podmienku
$\rho(A,p)=\rho(A,q)$, t.j.,
$$\frac{\abs{7x-y-2}}{5\sqrt2}=\frac{\abs{x+y-6}}{\sqrt2}$$
alebo ekvivlanentne
$$\frac{7x-y-2}{5\sqrt2}=\pm\frac{x+y-6}{\sqrt2}.$$
Toto zatiaľ určuje dve priamky. (V závislosti od toho, či v predošlej rovnosti zvolíme kladné alebo záporné znamienko. Pri opravovaní písomky by som pokojne uznal za plný počet aj riešenie, kde ste dostali dve priamky aj ak by ste nevedeli vybrať tú správnu z nich.)
Treba ešte nejako vybrať jednu z nich. Jedna možnosť je nakresliť si obrázok a pozrieť sa na to, ktoré body ležia na týchto priamkach.

Môžeme sa tiež pozrieť na to, v ktorej polrovine ležia body $C$ a $B$.
Všimnime si pre bod $C$ platí $7x-y-21>0$. Pre bod $B$ platí $x+y-6<0$. Teda vlastne chceme
$$\begin{align*} \frac{7x-y-2}{5\sqrt2}&=\frac{6-x-y}{\sqrt2}\\ 7x-y-2&=5(6-x-y)\\ 12x+4y&=32\\ 3x+y&=8 \end{align*}$$

Rovnaký uhol

Body, ktoré hľadáme musia spĺňať, že uhly $\angle XAB$ a $\angle CAX$ sú rovnaké.
Tým dostaneme podmienku
$$\frac{\skal{AX}{AB}}{\abs{AX}\cdot\abs{AB}}=\frac{\skal{AX}{AC}}{\abs{AX}\cdot\abs{AC}},$$
ktorú môžeme zjednodušiť na
$$\frac{\skal{AX}{AB}}{\abs{AB}}=\frac{\skal{AX}{AC}}{\abs{AC}}.$$

V našom prípade máme $\vekt{AB}=(-1,-7)$, $\abs{AB}=5\sqrt2$ a $\vekt{AC}=(2,-2)$, $\abs{AC}=2\sqrt2$.
Dostávame teda
$$\begin{align*} \frac{-(x-1)-7(y-5)}{5\sqrt2}&=\frac{2(x-1)-2(y-5)}{2\sqrt2}\\ \frac{-(x-1)-7(y-5)}{5}&=(x-1)-2(y-5)\\ -(x-1)-7(y-5)&=5(x-1)-5(y-5)\\ 6(x-1)+2(y-5)&=0\\ 3x+y-8&=0 \end{align*}$$

Cez výpočet uhla

V princípe by asi bolo možné riešiť úlohu aj tak, že vypočítate uhol $\angle CAB$ a potom hľadáte body, pre ktoré je uhol $\angle CAX$ polovičný.
Podľa mňa je riešenie cez uhly oveľa jednoduchšie spôsobom, ktorý som vysvetlil pred chvíľou. Pretože ste sa však viacerí pokúšali o takéto riešenie (aj keď nie veľmi úspešne), tak skúsim napísať niečo aj k tomuto riešeniu.

$$\begin{align*} \cos\varphi&=\frac{\skal{AC}{AB}}{\abs{AC}\cdot\abs{AB}}\\ \cos\varphi&=\frac{12}{20}=\frac35 \end{align*}$$

Potom chceme aby uhol medzi $\vekt{AX}$ a $\vekt{AC}$ bol $\varphi/2$. Teda
$$\begin{align*} \cos\frac\varphi2&=\frac{\skal{AX}{AC}}{\abs{AX}\cdot\abs{AC}}\\ \cos\frac\varphi2&=\frac{(x-1)-(y-5)}{\sqrt2\cdot\sqrt{(x-1)^2+(y-5)^2}}\\ \cos^2\frac\varphi2&=\frac{(x-1)^2-2(x-1)(y-5)+(y-5)^2}{2(x-1)^2+2(y-5)^2}\\ \end{align*}$$
Súčasne máme $\cos^2\frac\varphi2=\frac{1+\cos\varphi}2=\frac45$

Spoiler:

Ak si náhodou nepamätáme vzorec pre kosínus polovičného uhla, vieme ho ľahko odvodiť pomocou vzorca pre kosínus dvojnásobného uhla.
$\cos 2x=\cos^2 x- \sin^2x = 2\cos^2x-1$ $\Rightarrow$ $2\cos^2x=1+\cos2x$ $\Rightarrow$ $\cos^2x=\frac{1+\cos2x}2$
Teraz stačí za $x$ dosadiť $\varphi/2$.

Teda máme
$$\begin{align*} \frac{(x-1)^2-2(x-1)(y-5)+(y-5)^2}{2(x-1)^2+2(y-5)^2}&=\frac45\\ 5(x-1)^2-10(x-1)(y-5)+5(y-5)^2&=8(x-1)^2+8(y-5)^2\\ 3(y-5)^2+10(x-1)(y-5)+3(x-1)^2&=0\\ 3\left(\frac{y-5}{x-1}\right)^2+10\frac{y-5}{x-1}+3&=0 \end{align*}$$
Ak nájdeme korene rovnice $3t^2+10t+3$ a zistíme, že sú to $-3$ a $-\frac13$, tak dostávame dve priamky
$$\frac{y-5}{x-1}=-3\qquad\text{a}\qquad\frac{y-5}{x-1}=-\frac13.$$

Ešte treba nejako zistiť, ktorá z nich je hľadaná priamka. (Toto sú dve priamky, ktoré obe zvierajú uhol $\varphi/2$ s $\vekt{AC}$.)

[Martin Sleziak]

Komentáre k riešeniam$\newcommand{\abs}[1]{|#1|} \newcommand{\skl}[2]{\langle #1,#2 \rangle} \newcommand{\skal}[2]{\langle \overrightarrow{#1},\overrightarrow{#2} \rangle} \newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand{\vek}[1]{\vec{#1}}$

Ťažnica nie je to isté ako os uhla

Veľa z vás urobilo to, že ste našli priamku spájajúcu $A$ a stred úsečky $AB$. Tým ste našli vlastne ťažnicu trojholník $CAB$. Lenže to nie je to isté ako os uhla.

Takéto riešenie by fungovalo, ak by boli body $C$ a $B$ rovnako vzdialené od $A$, t.j. ak $\abs{AC}=\abs{BC}$. (To je vlastne presne riešenie cez jednotkové vektory, ktoré som uviedol.)
Ak sa však vzdialenosti líšia, tak dostanete inú priamku. (Aj tak som za takéto nesprávne riešenie dal zhruba polovicu bodov, ak ste správne vypočítali parametrické aj analytické vyjadrenie. Je to idea, ktorá by po úprave videla k správnemu riešeniu.)

Výpočty s uhlami

V niektorých písomkách ste postupovali tak, ako keby platilo $\cos\frac\varphi2=\frac{\cos\varphi}2$. Toto nie je pravda. (Zo strednej školy by ste mali vedieť vzorec pre kosínus polovičného uhla, resp. pre jeho absolútnu hodnotu. A ak ho neviete, tak si ho viete pomerne ľahko odvodiť spôsobom, ktorý sme si ukázali vyššie.)

Niektorí ste vypočítali hodnotu $\cos\varphi$ a potom vypočítali na kalkulačke približnú hodnotu $\varphi$. (A z nej približnú hodnotu $\varphi/2$.) Všetky úlohy však boli postavené tak, že kalkulačky vôbec nepotrebujete používať. (Zrejme sme mali ich používanie na písomke explicitne zakázať. Keďže sme to nespravili na prvej písomke, tak už aj na opravnej som to nechal tak.) Ale pravdou je, že aj tí, ktorí ste si vyrátali približnú hodnotu $\varphi/2$ resp. $\cos\varphi/2$ ste ju potom zvyčajne nijako priveľmi zmysluplne nepoužili.