Riešenia$\newcommand{\abs}[1]{|#1|}
\newcommand{\skl}[2]{\langle #1,#2 \rangle}
\newcommand{\skal}[2]{\langle \overrightarrow{#1},\overrightarrow{#2} \rangle}
\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\vek}[1]{\vec{#1}}$
Úloha sa dala riešiť rôznymi spôsobmi.
Stred medzi jednotkovými vektorom
Ak zoberieme jednotkové vektory v smeroch $\vekt{AB}$ a $\vekt{AC}$, tak dostaneme rovnoramenný trojuholník. Pre rovnoramenný trojuholník sa zhodujú os uhla, výška a ťažnica; stačí nám teda zobrať spojinicu $A$ a stredu medzi koncami týchto vektorov.
(Nie je dôležité to, že sme zobrali práve jednotkové vektory - treba ale zobrať vektory rovnakej dĺžky.)
Aby ste si vedeli situáciu predstaviť, asi pomôže, ak si nakreslíte obrázok.
Jednotkový vektor v smere $\vekt{AB}$ je $\vek u = \frac1{5\sqrt2}(-1,-7)$. Jednotkový vektor v smere $AC$ je $\vek v=\frac1{\sqrt2}(1,-1)$.
Jednotkový vektor v smere osi uhla teda dostaneme ako
$\frac{\vek u + \vek v}2 = \frac1{\sqrt2}(\frac25,-\frac65)=\frac2{5\sqrt2}(1,-3)$.
Zistili sme teda, že smerový vektor osi uhla je $(1,-3)$. Ak už poznáme smerový vektor a bod, vieme dostať parametrické vyjadrenie.
Rovnaká vzdialenosť
Máme priamku $p=\overleftrightarrow{AB}$ určenú rovnicou $7x-y-2=0$. Ďalej máme priamku $q=\overleftrightarrow{AC}$ určenú rovnicou $x+y-6=0$.
Os uhla obsahuje body, ktoré sú rovnako vzdialené od oboch priamok. Dostaneme tak podmienku
$\rho(A,p)=\rho(A,q)$, t.j.,
$$\frac{\abs{7x-y-2}}{5\sqrt2}=\frac{\abs{x+y-6}}{\sqrt2}$$
alebo ekvivlanentne
$$\frac{7x-y-2}{5\sqrt2}=\pm\frac{x+y-6}{\sqrt2}.$$
Toto zatiaľ určuje dve priamky. (V závislosti od toho, či v predošlej rovnosti zvolíme kladné alebo záporné znamienko. Pri opravovaní písomky by som pokojne uznal za plný počet aj riešenie, kde ste dostali dve priamky aj ak by ste nevedeli vybrať tú správnu z nich.)
Treba ešte nejako vybrať jednu z nich. Jedna možnosť je nakresliť si obrázok a pozrieť sa na to, ktoré body ležia na týchto priamkach.
Môžeme sa tiež pozrieť na to, v ktorej polrovine ležia body $C$ a $B$.
Všimnime si pre bod $C$ platí $7x-y-21>0$. Pre bod $B$ platí $x+y-6<0$. Teda vlastne chceme
$$\begin{align*}
\frac{7x-y-2}{5\sqrt2}&=\frac{6-x-y}{\sqrt2}\\
7x-y-2&=5(6-x-y)\\
12x+4y&=32\\
3x+y&=8
\end{align*}$$
Rovnaký uhol
Body, ktoré hľadáme musia spĺňať, že uhly $\angle XAB$ a $\angle CAX$ sú rovnaké.
Tým dostaneme podmienku
$$\frac{\skal{AX}{AB}}{\abs{AX}\cdot\abs{AB}}=\frac{\skal{AX}{AC}}{\abs{AX}\cdot\abs{AC}},$$
ktorú môžeme zjednodušiť na
$$\frac{\skal{AX}{AB}}{\abs{AB}}=\frac{\skal{AX}{AC}}{\abs{AC}}.$$
V našom prípade máme $\vekt{AB}=(-1,-7)$, $\abs{AB}=5\sqrt2$ a $\vekt{AC}=(2,-2)$, $\abs{AC}=2\sqrt2$.
Dostávame teda
$$
\begin{align*}
\frac{-(x-1)-7(y-5)}{5\sqrt2}&=\frac{2(x-1)-2(y-5)}{2\sqrt2}\\
\frac{-(x-1)-7(y-5)}{5}&=(x-1)-2(y-5)\\
-(x-1)-7(y-5)&=5(x-1)-5(y-5)\\
6(x-1)+2(y-5)&=0\\
3x+y-8&=0
\end{align*}
$$
Cez výpočet uhla
V princípe by asi bolo možné riešiť úlohu aj tak, že vypočítate uhol $\angle CAB$ a potom hľadáte body, pre ktoré je uhol $\angle CAX$ polovičný.
Podľa mňa je riešenie cez uhly oveľa jednoduchšie spôsobom, ktorý som vysvetlil pred chvíľou. Pretože ste sa však viacerí pokúšali o takéto riešenie (aj keď nie veľmi úspešne), tak skúsim napísať niečo aj k tomuto riešeniu.
\begin{align*}
\cos\varphi&=\frac{\skal{AC}{AB}}{\abs{AC}\cdot\abs{AB}}\\
\cos\varphi&=\frac{12}{20}=\frac35
\end{align*}
Potom chceme aby uhol medzi $\vekt{AX}$ a $\vekt{AC}$ bol $\varphi/2$. Teda
$$
\begin{align*}
\cos\frac\varphi2&=\frac{\skal{AX}{AC}}{\abs{AX}\cdot\abs{AC}}\\
\cos\frac\varphi2&=\frac{(x-1)-(y-5)}{\sqrt2\cdot\sqrt{(x-1)^2+(y-5)^2}}\\
\cos^2\frac\varphi2&=\frac{(x-1)^2-2(x-1)(y-5)+(y-5)^2}{2(x-1)^2+2(y-5)^2}\\
\end{align*}
$$
Súčasne máme $\cos^2\frac\varphi2=\frac{1+\cos\varphi}2=\frac45$
Teda máme
\begin{align*}
\frac{(x-1)^2-2(x-1)(y-5)+(y-5)^2}{2(x-1)^2+2(y-5)^2}&=\frac45\\
5(x-1)^2-10(x-1)(y-5)+5(y-5)^2&=8(x-1)^2+8(y-5)^2\\
3(y-5)^2+10(x-1)(y-5)+3(x-1)^2&=0\\
3\left(\frac{y-5}{x-1}\right)^2+10\frac{y-5}{x-1}+3&=0
\end{align*}
Ak nájdeme korene rovnice $3t^2+10t+3$ a zistíme, že sú to $-3$ a $-\frac13$, tak dostávame dve priamky
$$\frac{y-5}{x-1}=-3\qquad\text{a}\qquad\frac{y-5}{x-1}=-\frac13.$$
Ešte treba nejako zistiť, ktorá z nich je hľadaná priamka. (Toto sú dve priamky, ktoré obe zvierajú uhol $\varphi/2$ s $\vekt{AC}$.)