2.3.9

[ZuzanaHromcova]

Nech $f,g: G \to H$ sú homomorfizmy grúp. Je množina $\{ a \in G: f(a) = g(a) \}$ podgrupa grupy $G$?

Označme uvažovanú množinu $X$. Zrejme $X \neq \emptyset$, pretože $f,g$ sú homomorfizmy grúp a tie zobrazia neutrálne prvky grupy $G$ na ten istý neutrálny prvok grupy $H$, teda $e \in X$. Ďalej zrejme $X \subset G$, teda zostáva overiť:
(a) $\forall a,b \in X: a \ast b \in X$
(b) $\forall a \in X: a^{-1} \in X$

(a) Nech $a,b \in X$, potom $f(a)=g(a)$ a $f(b)=g(b)$. Pretože $f,g$ sú homomorfizmy, platí $f(a \ast b) = f(a) \ast f(b) = g(a) \ast g(b) = g(a \ast b)$, teda aj $a \ast b \in X$.

(b) Nech $a \in X$, ukážeme, že aj $a^{-1} \in X$. Pre homomorfizmy $f,g$ platí $g(a^{-1}) = (g(a))^{-1}$ a $f(a^{-1}) = (f(a))^{-1}$, teda $f(a^{-1})$ = (homomorfizmus) = $(f(a))^{-1}$ = (jednoznačnosť inverzných prvkov k prvkom $f(a)=g(a)$) = $(g(a))^{-1}$ = (homomorfizmus) = $g(a^{-1})$.

Teda $X$ je podgrupa $G$.

[jaroslav.gurican]

OK, 1 bod. JG (prepisal som pár $G$ na $X$)