Ešte k výpočtu determinantov

[Martin Sleziak]

Je to síce učivo z prvého semestra, ale aj tak sa ešte vrátim k niektorým chybám, ktoré sa objavovali pri výpočte determinantov.

*****

Determinant matice, ktorá má pod diagonálou nuly môžem vypočítať ako súčin diagonálnych prvkov. Presne rovnako to funguje, ak sú nuly nad diagonálou. (Môžeme to zdôvodniť rovnako, ako v prípade hornej trojuholníkovej matice. Alebo môžeme využiť, že $\det(A)=\det(A^T)$.)

V zadaní na písomke vyšla matica, kde boli nad diagonálou nuly. Viacerí ste jej determinant rátali riadkovými úpravami, viacnásobným použitím Laplaceovho rozvoja alebo nejakým iným spôsobom. To v princípe nie je chyba - ale nezaškodí si uvedomiť, že determinant sa dal vyrátať aj rýchlejšie.

*****

Determinant $3\times 3$ môžeme počítať Sarrusovým pravidlom. Podobné pravidlo už nefunguje pre determinanty $4\times4$.
Môžete si vyskúšať na matici
$A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$
Táto matica má dva riadky rovnaké, teda $|A|=0$. Ak by ste determinant počítali podľa "4-Sarrusovho pravidla" dostali by ste $1$.
Pri troche námahy by ste mali byť schopní nájsť veľa ďalších kontrapríkladov.