Tvrdenie: $\Zobr fXY$ je surjektívna $\Lra$ pre každú podmnožinu $C\subseteq Y$ platí $\Obr f{\Invobr fC}=C$.
Dôkaz
$\boxed{\Ra}$ Predpokladajme, že $f$ je surjektívne a pokúsme sa dokázať danú rovnosť.
Aké prvky patria do $\Obr f{\Invobr fC}$? Priamo prepísaním definície dostaneme:
$y\in \Obr f{\Invobr fC}$ $\Lra$ $(\exists x) x\in\Invobr fC \land f(x)=y$ $\Lra$ $(\exists x) f(x)\in C\land f(x)=y$
V poslednom zápise máme, že $f(x)=y$ a $f(x)\in C$, z čoho vyplýva, že $y\in C$.
Z toho teda vidíme, že pre ľubovoľné zobrazenie $f$ platí $$\Obr f{\Invobr fC}\subseteq C.$$
Chýba nám ešte opačná inklúzia - zrejme pri nej nejako využijeme surjektívnosť.
Ak $y$ je ľubovoľný prvok z $C$, tak existuje nejaký prvok $x$, pre ktorý $f(x)=y$. (Na základe surjektívnosti.) Tento prvok patrí do $\Invobr fC$ (pretože $f(x)=y\in C$). Teda sme dostali, že $y\in \Obr f{\Invobr fC}$.
$\boxed{\Leftarrow}$ Máme $Y=\Obr f{\Invobr fY}$. To znamená, že na každý prvok z $Y$ sa zobrazí nejaký prvok z $\Invobr fY$. Ak sa na každý prvok niečo zobrazí, ide o surjekciu.
$\boxed{\Leftarrow}$ (Iný dôkaz.) Nech by $f$ nebolo surjektívne. Teda existuje taký prvok $y\in Y$, na ktorý sa nezobrazí nič. Potom $\Invobr f{\{y\}}=\emptyset$, a teda pre množinu $C=\{y\}$ máme $\Obr f{\Invobr fC}=\Obr f{\emptyset}=\emptyset$. Teda sme ukázali, že existuje množina taká, že $C\ne\Obr f{\Invobr fC}$.
Iný dôkaz - z odovzdaných riešení.
V niektorých odovzdaných úlohách sa vyskytlo takéto zdôvodnenie jednej z implikácií.
$\boxed{\Rightarrow}$ Množinu $C$ môžeme napísať ako $\bigcup C=\bigcup\limits_{y\in C}\{y\}$.
Potom máme $\Invobr fC=\Invobr f{\bigcup\limits_{y\in C}\{y\}} \overset{(1)}= \bigcup\limits_{y\in C}\Invobr f{\{y\}}$.
Ďalej dostaneme $\Obr f{\Invobr fC} = \Obr f{\bigcup\limits_{y\in C}\Invobr f{\{y\}}} \overset{(2)}= \bigcup\limits_{y\in C}\Obr f{\Invobr f{\{y\}}} \overset{(3)}= \bigcup\limits_{y\in C}\{y\}=C$. $\hspace{2cm}\square$
Takéto riešenie je v poriadku, treba ho však napísať tak, aby bolo jasné, čo sa v jednotlivých krokoch použilo; a použité veci by bolo treba zdôvodniť/dokázať. Takisto by malo byť jasné, kde sa využilo, že $f$ je surjektívne. (Toto je aj všeobecná rada - ak sa vyskytuje v dokazovanom tvrdení nejaký predpoklad, a vy ste ho nevyužili, mal by vám byť ten dôkaz podozrivý.)
Konkrétne tu sme použili:
(1) To, že pre ľubovoľný systém množín platí $\Invobr f{\bigcup_{i\in I}B_i} = \bigcup_{i\in I} \Invobr f{B_i}$. (Toto je jedna časť z minulej úlohy.)
(2) To, že pre ľubovoľný systém množín platí $\Obr f{\bigcup_{i\in I}B_i} = \bigcup_{i\in I} \Obr f{B_i}$. Toto je dokázané ako jeden z príkladov tu.
(3) Rovnosť $\Obr f{\Invobr f{\{y\}}}=\{y\}$ platí vďaka tomu, že $f$ je surjektívne. (Malo by byť jasné, že $\Obr f{\Invobr f{\{y\}}}\subseteq\{y\}$, túto vec sme dokázali v predošlom dôkaze všeobecnejšie, pre ľubovoľnú množinu $C$ namiesto $\{y\}$. Ak $f$ je surjektívne, tak existuje aspoň jeden prvok $x$, ktorý sa zobrazí na $y$, teda $f(x)=y$. To znamená, že $x\in\Invobr f{\{y\}}$ a $f(x)\in\Obr f{\Invobr f{\{y\}}}$.)
Takéto zdôvodnenie mi v odovzdaných riešeniach chýbalo, ale dal som za takéto riešenie nejaké body.
****************
Tvrdenie: Zobrazenie $f$ je injekcia práve vtedy, keď pre ľubovoľné podmnožiny $A,B\subseteq X$ platí $A\subseteq B$ $\Leftrightarrow$ $\Obr fA \subseteq \Obr fB$.
Dôkaz:
$\boxed{\Leftarrow}$ Nepriamo. Nech $f$ nie je injektívne. Teda existujú $x$, $y$ také, že $x\ne y$ a súčasne $f(x)=f(y)$. Potom pre množiny $A=\{x\}$, $B=\{y\}$ máme $\Obr fA=\Obr fB=\{f(x)\}$, teda platí aj $\Obr fA\subseteq \Obr fB$. Očividne však neplatí $A\subseteq B$.
$\boxed{\Rightarrow}$ Najprv si všimnime, že jedna implikácia platí pre ľubovoľné zobrazenie (nepotrebujeme predpoklad o injektívnosti): Ak $A\subseteq B$, tak $\Obr fA\subseteq\Obr fB$. Skutočne, ak $y\in\Obr fA$, znamená to, že $y=f(a)$ pre nejaké $a\in A$. Pretože $A\subseteq B$, vyplýva z toho aj $a\in B$ a $y=f(a)\in\Obr fB$.
Teraz navyše predpokladajme, že $f$ je injektívne a že platí $\Obr fA\subseteq\Obr fB$.
Zoberme si ľubovoľný prvok $a\in A$. (Chceli by sme dokázať, že $a$ patrí aj do $B$.)
Potom máme, že $f(a)\in\Obr fA$. Z $\Obr fA\subseteq\Obr fB$ máme, že $f(a)\in\Obr fB$. To znamená, že $f(a)=f(b)$ pre nejaký prvok $b\in B$. Lenže z injektívnosti dostaneme, že $a$ a $b$ sa musia rovnať, a teda $a\in B$.
*******
Iné úlohy podobného typu:
- Injektívnosť je charakterizovaná vlastnosťou $\Obr f{A\cap B}=\Obr fA \cap \Obr fB$ - jednu implikáciu sme robili tu, druhá sa dá nájsť napríklad tu.
Opäť sa vyskytovala podobná chyba ako v du6 - označenie $\Invobr fB$ označuje vzor množiny. Ak nevieme, či existuje inverzné zobrazenie, nemá zmysel napísať $x=\inv f(y)$ pre $x\in X$, $y\in Y$.