Úloha 8.1. Nájdite Jordanov normálny tvar danej matice. Nájdite aj maticu prechodu a zapíšte príslušnú maticovú rovnosť.
$\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
-4 & 4 & 0 \\
-2 & 1 & 2
\end{pmatrix}$
Úloha 8.2 Nájdite Jordanov tvar pre maticu
$A=\begin{pmatrix}
3 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
3 & 0 & 5 & -3 \\
4 & -1 & 3 & -1
\end{pmatrix}$
Úlohy LS 2014/15
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Úlohy LS 2014/15
Momentálny stav bodov:
4 Kovács P.
3 Mikušovský A.
2 Koľbík F.
2 Rabatin R.
1 Gafurov A.
4 Kovács P.
3 Mikušovský A.
2 Koľbík F.
2 Rabatin R.
1 Gafurov A.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Úlohy LS 2014/15
Fibonacciho čísla
Zopakovanie vecí, čo sme odvodili na prednáške a cviku:
Pracovali sme s maticou $A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\1 & 0\end{pmatrix}$. Vieme o nej, že $A^2-A-I=0$. Používali sme, že
$$
\begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_n\end{pmatrix}=
A\begin{pmatrix}F_{n}\\F_{n-1}\end{pmatrix}
\\
A^n=
\begin{pmatrix}
F_{n+1} & F_n \\
F_n & F_{n-1}
\end{pmatrix}
$$
Odvodili sme:
$\sum_{k=1}^n F_k= F_{n+2}-1$
$F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n$ (Cassiniho identita)
$F_{m+n}=F_mF_{n+1}+F_{m-1}F_n$ (konvolučná vlastnosť)
$F_{2n}=F_{n}(F_{n+1}+F_{n-1})$ a $F_{2n+1}=F_{n+1}^2+F_{n}^2$.
$\sum_{k=0}^nF_k^2=F_nF_{n+1}$
Nasleduje niekoľko úloh týkajúcich sa Fibonacciho čísel. Preferujem riešenia, ktoré budú využívať matice alebo už odvodené identity; ale môžete sa pochváliť aj inými riešeniami a dostať za ne body. Nebudem však dávať body za riešenia, ktoré sú priamym dosadením vzorca pre $F_n$ alebo indukciou. (Jedine ak by sa tam vyskytla nejaká veľmi pekná myšlienka.) Body za úlohu určite dostane prvé správne riešnie. Ak sa objavia ďalšie riešenia a budú mať nejakú peknú/originálnu myšlienku; tak tiež za ne možno bude bod.
Úloha 9.1. Ukážte, že $F_{n-1}F_{n+2}-F_nF_{n+1}=(-1)^n$. Vyskytuje sa táto identita nejako v "missing square puzzle"?
Úloha 9.2. Ukážte, že $F_{2n}=\sum_{k=0}^n{n \choose k}F_k$. (Hint k maticovému odvodeniu: Skúste využiť rovnosť $A^2=I+A$.) Keďže na cviku som povedal k tomuto príkladu aj návod, tak by som rád videl maticové odvodenie. (Aj ak nájdete okrem neho aj nejaké ďalšie riešenie.)
Úloha 9.3. Ukážte $F_n^4-F_{n+2}F_{n+1}F_{n-1}F_{n-2}=1$ pomocou matíc alebo pomocou niektorých už odvodených identít.
Úloha 9.4. Viete pomocou identity $F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n$ ukázať, že postupnosť $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ musí konvergovať? Akú bude mať limitu?
Zopakovanie vecí, čo sme odvodili na prednáške a cviku:
Pracovali sme s maticou $A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\1 & 0\end{pmatrix}$. Vieme o nej, že $A^2-A-I=0$. Používali sme, že
$$
\begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_n\end{pmatrix}=
A\begin{pmatrix}F_{n}\\F_{n-1}\end{pmatrix}
\\
A^n=
\begin{pmatrix}
F_{n+1} & F_n \\
F_n & F_{n-1}
\end{pmatrix}
$$
Odvodili sme:
$\sum_{k=1}^n F_k= F_{n+2}-1$
$F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n$ (Cassiniho identita)
$F_{m+n}=F_mF_{n+1}+F_{m-1}F_n$ (konvolučná vlastnosť)
$F_{2n}=F_{n}(F_{n+1}+F_{n-1})$ a $F_{2n+1}=F_{n+1}^2+F_{n}^2$.
$\sum_{k=0}^nF_k^2=F_nF_{n+1}$
Nasleduje niekoľko úloh týkajúcich sa Fibonacciho čísel. Preferujem riešenia, ktoré budú využívať matice alebo už odvodené identity; ale môžete sa pochváliť aj inými riešeniami a dostať za ne body. Nebudem však dávať body za riešenia, ktoré sú priamym dosadením vzorca pre $F_n$ alebo indukciou. (Jedine ak by sa tam vyskytla nejaká veľmi pekná myšlienka.) Body za úlohu určite dostane prvé správne riešnie. Ak sa objavia ďalšie riešenia a budú mať nejakú peknú/originálnu myšlienku; tak tiež za ne možno bude bod.
Úloha 9.1. Ukážte, že $F_{n-1}F_{n+2}-F_nF_{n+1}=(-1)^n$. Vyskytuje sa táto identita nejako v "missing square puzzle"?
Úloha 9.2. Ukážte, že $F_{2n}=\sum_{k=0}^n{n \choose k}F_k$. (Hint k maticovému odvodeniu: Skúste využiť rovnosť $A^2=I+A$.) Keďže na cviku som povedal k tomuto príkladu aj návod, tak by som rád videl maticové odvodenie. (Aj ak nájdete okrem neho aj nejaké ďalšie riešenie.)
Úloha 9.3. Ukážte $F_n^4-F_{n+2}F_{n+1}F_{n-1}F_{n-2}=1$ pomocou matíc alebo pomocou niektorých už odvodených identít.
Úloha 9.4. Viete pomocou identity $F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n$ ukázať, že postupnosť $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ musí konvergovať? Akú bude mať limitu?
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Úlohy LS 2014/15
Niektoré z týchto úloh súvisia s Jordanovým normálnym tvarom alebo sa dajú pomocou neho riešiť. Ak viete vymyslieť riešenie s Jordanovým tvarom aj bez neho, oplatí sa pozrieť na to, či vám veta o Jordanovom tvare nejako zjednodušila život. Hoci sme vetu o Jordanovom tvare nedokázali, v úlohách tejto série sa môže používať.
Úloha 10.1. Ukážte, že každá matica $2\times 2$ nad $\mathbb C$, pre ktorú platí $A^2=0$, musí byť podobná s $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ alebo $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$. (Všimnite si, že tým sme vlastne nejako popísali všetky matice spĺňajúce $A^2=0$, konkrétne ako matice tvaru $PJP^{-1}$, kde $P$ je regulárna matica a $J$ má niektorý z uvedených dvoch tvarov.)
Úloha 10.2. Existuje matica $A\ne I$ typu $2\times 2$ nad poľom $\mathbb C$ taká, že $A^3=I$? Vedeli by ste nejako popísať všetky také matice? Vedeli by ste nájsť aj nejakú maticu, v~ktorej všetky hodnoty budú reálne? (Hint k jednému možnému riešeniu poslednej časti: Skúste sa zamyslieť nad tým, čo uvedená rovnosť hovorí o lineárnom zobrazení zodpovedajúcom matici $A$. Iný možný hint: Ak by sme našli maticu s charakteristickýcm polynómom $x^2+x+1=0$, tak táto matica bude určite spĺňať $A^3=I$ na základe Cayley-Hamiltonovej vety. Ďalší hint: Ak máte nejaký iný nápad, nedajte sa mýliť predošlými dvoma hintami.)
Úloha 10.3. Pre maticu $A$ definujeme $e^A=I+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\dots$ (ak uvedený rad koverguje).
Vypočítajte $e^A$ a $e^B$ ak $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ a $B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$. Overte, či platí $e^Ae^B=e^Be^A$.
(Ako si môžete prečítať napríklad na Wikipedii, uvedená rovnosť by mala platiť v prípade $AB=BA$. Exponenciálna funkcia na maticiach je užitočná napríklad v súvislosti s diferenciálnymi rovnicami a sústavami diferenciálnych rovníc.)
Úloha 10.1. Ukážte, že každá matica $2\times 2$ nad $\mathbb C$, pre ktorú platí $A^2=0$, musí byť podobná s $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ alebo $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$. (Všimnite si, že tým sme vlastne nejako popísali všetky matice spĺňajúce $A^2=0$, konkrétne ako matice tvaru $PJP^{-1}$, kde $P$ je regulárna matica a $J$ má niektorý z uvedených dvoch tvarov.)
Úloha 10.2. Existuje matica $A\ne I$ typu $2\times 2$ nad poľom $\mathbb C$ taká, že $A^3=I$? Vedeli by ste nejako popísať všetky také matice? Vedeli by ste nájsť aj nejakú maticu, v~ktorej všetky hodnoty budú reálne? (Hint k jednému možnému riešeniu poslednej časti: Skúste sa zamyslieť nad tým, čo uvedená rovnosť hovorí o lineárnom zobrazení zodpovedajúcom matici $A$. Iný možný hint: Ak by sme našli maticu s charakteristickýcm polynómom $x^2+x+1=0$, tak táto matica bude určite spĺňať $A^3=I$ na základe Cayley-Hamiltonovej vety. Ďalší hint: Ak máte nejaký iný nápad, nedajte sa mýliť predošlými dvoma hintami.)
Úloha 10.3. Pre maticu $A$ definujeme $e^A=I+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\dots$ (ak uvedený rad koverguje).
Vypočítajte $e^A$ a $e^B$ ak $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ a $B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$. Overte, či platí $e^Ae^B=e^Be^A$.
(Ako si môžete prečítať napríklad na Wikipedii, uvedená rovnosť by mala platiť v prípade $AB=BA$. Exponenciálna funkcia na maticiach je užitočná napríklad v súvislosti s diferenciálnymi rovnicami a sústavami diferenciálnych rovníc.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Úlohy LS 2014/15
Úloha 11.1. Vyjadriť pomocou základných symetrických polynómov:
$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_2+x_3)$.
Úloha 11.2. Vyjadriť pomocou základných symetrických polynómov:
a) $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2$
b) $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^3+x_2^3+x_3^3$
Úloha 11.3.${}^*$
Nájdite (v $\mathbb C$) riešenia sústavy rovníc
$$\begin{align*}
x + y + z &= 4\\
x^2 + y^2 + z^2 &= 4\\
x^3 + y^3 + z^3 &= 4
\end{align*}$$
(Môžu sa vám hodiť nejaké veci, ktoré ste už vyrátali v úlohe 11.2 a Vietove vzťahy.)
$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_2+x_3)$.
Úloha 11.2. Vyjadriť pomocou základných symetrických polynómov:
a) $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2$
b) $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^3+x_2^3+x_3^3$
Úloha 11.3.${}^*$
Nájdite (v $\mathbb C$) riešenia sústavy rovníc
$$\begin{align*}
x + y + z &= 4\\
x^2 + y^2 + z^2 &= 4\\
x^3 + y^3 + z^3 &= 4
\end{align*}$$
(Môžu sa vám hodiť nejaké veci, ktoré ste už vyrátali v úlohe 11.2 a Vietove vzťahy.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Úlohy LS 2014/15
Momentálny stav bodov:
5 Kovács P.
4 Mikušovský A.
3 Rabatin R.
2 Koľbík F.
1 Gafurov A.
5 Kovács P.
4 Mikušovský A.
3 Rabatin R.
2 Koľbík F.
1 Gafurov A.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Úlohy LS 2014/15
Ako sme sa dohodli tu viewtopic.php?f=34&t=689 už sú v subfóre pre Algebru 3 zobrazené aj riešenia z minulých rokov.
Znamená to, že ak ešte chcete skúsiť na fóre vyriešiť za body niektorú z úloh zadaných v tomto vlákne, tak sa treba najprv pozrieť na to, či už nie je vyriešená v tých starých úlohách. (Znamená to nejakú robotu navyše, ale snáď to nie je až také tragické. Z názvov topicov by sa malo dať zhruba vidieť, do akej témy riešenie patrí, čiže nebudete reálne musieť prezerať všetky staré riešenia, iba riešenia týkajúce sa témy, ktorá vás zaujíma.)
Znamená to, že ak ešte chcete skúsiť na fóre vyriešiť za body niektorú z úloh zadaných v tomto vlákne, tak sa treba najprv pozrieť na to, či už nie je vyriešená v tých starých úlohách. (Znamená to nejakú robotu navyše, ale snáď to nie je až také tragické. Z názvov topicov by sa malo dať zhruba vidieť, do akej témy riešenie patrí, čiže nebudete reálne musieť prezerať všetky staré riešenia, iba riešenia týkajúce sa témy, ktorá vás zaujíma.)