Je to ekvivalencia tak to budem dokazovať dvoma implikáciami.Martin Sleziak wrote:
Úloha 4.3. Nech S, T sú pod-priestory vektorového priestoru V nad poľom F. Ukážte, že S∪T je pod-priestor priestoru V práve vtedy, keď S⊆T alebo T⊆S.
1,)<=
S⊆T alebo T⊆S. tuto využijeme BUNV pretože ten druhy dôkaz T⊆S bude vyzerať rovnako.
S⊆T => Že všetky vektory z S patria do T.
S∪T => zoberieme všetky prvky z S a T a dáme ich dokopy. Keď S⊆T tak zjednotíme niektoré vektory čo patria do T a všetky vektory
čo patria do T => zjednotenie bude T (Môžme sa na to pozerať ako na zjednotenie množiny a jej pod-množiny čo je tá množina).
Keď S∪T=T z predpoklady nám vychádza že T je VPP a tak aj S∪T=T je VPP V.
2,)=> (Toto budem dokazovať sporom).
(x - znamená opak ⊆, čiže nie je podmnožinu.)
SxT a TxS => že nemajú spoločne vektory. (*)Negácia:Nech S, T sú pod-priestory vektorového priestoru V nad poľom F. Tak S⊆T je VPP a SxT a TxS.
S VPP V => obsahuje určite nulový vektor 0.
(Odteraz budem označovať nulový vektor ako 0).
T VPP V => obsahuje určite nulový vektor 0.
Lenže podľa (*) nesmú mať žiaden spoločný vektor ale oni majú spoločný vektor a to je určite 0. Toto je SPOR.