Ak sa chcete pozrieť na úlohy z vlaňajšej písomky, tak ich riešenia nájdete tu:
viewtopic.php?t=514
viewtopic.php?t=515
viewtopic.php?t=516
viewtopic.php?t=517
(Aj keď predpokladám, že na dnešnú písomku ste išli s tým, že ste mali príklady z vlaňajšej písomky prerátané.)
Skupina A
Skupina BNech $(G,\ast)$ je grupa a $a\in G$ je ľubovoľný z jej prvkov.
Dokážte, že zobrazenie $f_a : G \to G$ definované ako $f_a(b)= a \ast b$ je
bijekcia.
(Sformulujte aj definíciu surjekcie, injekcie a bijekcie.)
Riešenia sa dajú nájsť inde na fóre: viewtopic.php?t=741 a viewtopic.php?t=316Nech $(G,\ast)$ je grupa a $a\in G$ je ľubovoľný z jej prvkov.
Dokážte, že zobrazenie $g_a : G \to G$ definované ako $g_a(b)= b \ast a$ je
bijekcia.
(Sformulujte aj definíciu surjekcie, injekcie a bijekcie.)
Jedno možné riešenie je overiť definíciu (ukázať, že je to surjekcia aj injekcia). Iné riešenie je ukázať, že k tomuto zobrazeniu existuje inverzné zobrazenie. (A vieme, že to platí práve pre bijektívne zobrazenia). Konkrétne inverzné zobrazenie k $f_a$ je zobrazenie $f_{a^{-1}}$.
Tu napíšem teda už len nejaké komentáre k vašim riešeniam.
Chyby v definíciách
Objavilo sa tvrdenie, že definícia surjekcie je
$x\ne y \Rightarrow f(x)\ne f(y)$.
Definícia surjekcie to nie je. Je to ekvivalentné s definíciou injekcie - obmenou dostanem tú definíciu, na ktorú sme zvyknutí:
$f(x)=f(y) \Rightarrow x=y$.
Niektorí ste napísali definíciu injekcie správne:
$f(x)=f(y) \Rightarrow x=y$
A potom napísali, že to je ekvivalentné s
$f(x)\ne f(y) \Rightarrow x\ne y$.
Toto nie je pravda, hovoril som o tom už v súvislosti s prvou písomkou na výberovom cviku: viewtopic.php?t=735
Chyby v riešeniach
Objavilo sa tvrdenie, že zobrazenie je bijekcia, lebo je to zobrazenie medzi množinami, ktoré majú rovnaký počet prvkov.
Je pravda, že ak existuje bijekcia $f\colon X\to Y$, tak tieto množiny majú rovnaký počet prvkov, t.j. $|X|=|Y|$.
Obrátene to však neplatí. Ak dve množiny majú rovnaký počet prvkov, nie každé zobrazenie medzi nimi je bijekcia.
Nie je veľmi šťastné používať to isté písmeno v tom istom zápis v dvoch rôznych významoch.
Napríklad ak ste si napísali definíciu injektívneho zobrazenia ako
$(\forall a,b) f(a)=f(b) \Rightarrow a=b$
a potom ju aplikovali na zobrazenie $f_a$ a išli ste dokazovať
$a*a=a*b \Rightarrow a=b$.
Tak tu ste dve rôzne veci označili tým istým symbolom $a$. Raz máte prvok $a$, ktorý určuje zobrazenie $f_a$. (Tento prvok je pevne zvolený.) A druhý výskyt písmena $a$ predstavuje ľubovoľný prvok z $G$, teda niečo úplne iné.
Takýto zápis hovorí asi to, čo ste sa snažili napísať, a už tu nie je spomínaný problém:
$f_a(x)=f_a(y) \Rightarrow x=y$
$a*x=a*y \Rightarrow x=y$
"Zobrazenie $f_a$ je surjektívne, lebo ak $a=e$, tak pre ľubovoľné $b\in G$ dostaneme $f_a(b)=e*b=b$."
Toto by bol argument, ktorý by zdôvodnil, že $f_e$ je surjektívne, t.j. že dokazované tvrdenie platí v prípade $a=e$.
V zadaní však bolo iba to, že $a$ je nejaký prvok z $G$. T.j. bolo treba dokázať dané tvrdenie pre ľubovoľné $a\in G$, nie iba pre jeden vhodne vybratý prvok.
(Navyše prípad $a=e$ by to bolo dosť jednoduché; vtedy totiž dostaneme $f_e=id_G$, čo očividne je bijekcia.)