Skupina BUkážte, že obvyklé sčitovanie a násobenie reálnych čísel sú binárne operácie na množine $F=\{a+b\sqrt{3} \,| \, a, b\in \mathbb{Q} \}$. Nájdite neutrálne prvky operácií $+$ a $\cdot$. Ukážte, že pre $(a,b)\in\mathbb Q^2$ také, že $(a,b)\ne(0,0)$, existuje aj inverzný prvok $(a+b\sqrt{3})^{-1}\in F$ vzhľadom na operáciu $\cdot$. (Dá sa dokázať, že $(F,+,\cdot)$ je pole. V~tejto úlohe sa vás pýtame iba na niektoré časti z~definície poľa.)
Tú poznámku o tom, že $(F,+,\cdot)$ je pole som do zadania pridal preto, že som si myslel, že vám pomôže trochu lepšie vidieť ako to súvisí s vecami, ktoré sme robili. Nechceli sme od vás, aby ste dokazovali všetky veci z definície poľa. (Niektorí ste to robili. Neviem, či vás teda táto poznámka poplietla, alebo ste sa jednoducho rozhodli urobiť aspoň niečo súvisiace so zadaním, ak ste nevedeli spraviť to, čo bolo v zadaní.)Ukážte, že obvyklé sčitovanie a násobenie reálnych čísel sú binárne operácie na množine $F=\{a+b\sqrt{5} \,| \, a, b\in \mathbb{Q} \}$. Nájdite neutrálne prvky operácií $+$ a $\cdot$. Ukážte, že pre $(a,b)\in\mathbb Q^2$ také, že $(a,b)\ne(0,0)$, existuje aj inverzný prvok $(a+b\sqrt{5})^{-1}\in F$ vzhľadom na operáciu $\cdot$. (Dá sa dokázať, že $(F,+,\cdot)$ je pole. V~tejto úlohe sa vás pýtame iba na niektoré časti z~definície poľa.)
Ak sa chcete pozrieť na dôkaz, že je to pole, tak môžete na veľmi podobnú úlohu tu: viewtopic.php?t=84
Ja sa tu budem venovať iba tým častiam, ktoré sme od vás chceli a napíšem iba riešenie pre skupinu A. (Obe skupiny sú veľmi podobné.)
Riešenie
Sú to binárne operácie: Vezmeme si dva prvky $a+b\sqrt3, c+d\sqrt3\in F$ (kde $a,b,c,d\in\mathbb Q$). Chceme ukázať, že ich súčet a súčin patrí opäť do $F$.
$(a+b\sqrt3)+(c+d\sqrt3)=\underset{\in\mathbb Q}{\underbrace{(a+c)}}+\underset{\in\mathbb Q}{\underbrace{(b+d)}}\sqrt3$
$(a+b\sqrt3)(c+d\sqrt3)=\underset{\in\mathbb Q}{\underbrace{(ac+3bd)}}+\underset{\in\mathbb Q}{\underbrace{(ad+bc)}}\sqrt3$
Čísla, ktoré sme vyznačili, sú skutočne racionálne. (Vďaka tomu, že súčet, rozdiel a súčin racionálnych čísel je opäť racionálne číslo.) Z toho vyplýva, že výsledok je opäť z množiny $F$, a teda naozaj ide o binárnu operáciu.
Neutrálny prvok pre sčitovanie je $0$. Tento prvok patrí do $F$, lebo ho vieme zapísať ako $0=0+0\sqrt3$.
Neutrálny prvok pre násobenie je $1$. Tento prvok patrí do $F$, lebo ho vieme zapísať ako $1=1+0\sqrt3$.
Už nám zostáva iba jediná (ale najzaujímavejšia) časť zadania. Treba ukázať, že ak $(a,b)\ne(0,0)$, tak máme inverzný prvok na násobenie v $F$.
Inverzný prvok je
$$\frac1{a+b\sqrt3}=\frac{a-b\sqrt3}{(a+b\sqrt3)(a-b\sqrt3)}=\frac{a-b\sqrt3}{a^2-3b^2}=\frac{a}{a^2-3b^2}+\frac{-b}{a^2-3b^2}\sqrt3.$$
Dostali sme teda prvok tvaru $a_1+b_1\sqrt3$, pričom $a_1$ a $b_1$ sú racionálne. (Dostali sme ich z racionálnych čísel sčitovaním, násobením, delením.)
Môžeme aj prekontrolovať, že to je skutočne inverzný prvok:
$$\left(\frac{a}{a^2-3b^2}+\frac{-b}{a^2-3b^2}\sqrt3\right)(a+b\sqrt3)=\frac{a^2-3b^2}{a^2-3b^2}+\frac{-ab+ab}{a^2-3b^2}\sqrt3=1.$$
Stále tu však máme problém - nemohla by byť v menovateli nula? (V takom prípade uvedený výraz vôbec nemá zmysel.)
Pozrime sa teda, kedy je $a^2-3b^2=0$.
Ak $b=0$, tak dostaneme $a^2=0$, čiže aj $a=0$. To vedie k prípadu $(a,b)=(0,0)$, ktorý je vylúčený priamo v zadaní.
Ak $b\ne0$, tak dostaneme $3=\frac{a^2}{b^2}$, čiže $\sqrt3=\frac{|a|}{|b|}$. To znamená, že $\sqrt3$ je racionálne číslo, čo je spor.
$\square$
Komentáre k odovzdaným riešeniam
Spomedzi riešení, ktoré som opravoval, sa našiel iba jeden človek, ktorý kontroloval aj to, či v menovateli nie je nula.
Viacero z vás písalo, že neutrálny prvok pre sčitovanie je $(0,0)$ a neutrálny prvok pre násobenie je $(1,1)$.
To je zle už z toho dôvodu, že to vôbec nie sú prvky množiny $F$.
Dalo by sa ešte stále prižmúriť oko - možno ste to mysleli tak, že prvok $a+b\sqrt3$ ste stotožnili s dvojicou $(a,b)$. (Máme vcelku prirodzenú bijekciu medzi $F$ a $\mathbb Q^2$, aj keď to, že ide skutočne o bijekciu, by bolo treba dokázať.)
Potom by dvojica $(0,0)$ zodpovedala číslu $0=0+0\sqrt3$, čo je skutočne neutrálny prvok pre sčitovanie.
Ale číslo $1+\sqrt3$ určite nie je neutrálny prvok operácie $\cdot$.
Zadanie bolo naschvál sformulované tak, že sme od vás nechceli všetko z definície poľa. (Lebo to pridáva dosť vecí navyše.)
Niektorí z vás ste ich robili. (Dokonca bolo veľa písomiek, kde ste nerobili tie veci, čo boli v zadaní, ale robili napríklad distributívnosť, komutatívnosť, či asociatívnosť - na ktoré sa v zadaní nepýtame.)
Ako sme si vysvetlili na cviku (a je to vysvetlené aj v riešenej úlohe na fóre) takéto veci sa "zdedia"- Vieme, že platia na množine $\mathbb R$. A tu pracujeme s menšou množinou a rovnakými operáciami.
Treba si dať však pozor i na to, že nie úplne všetko sa dedí z väčšej množiny na menšiu. Takýto argument sa objavil v jednej písomke:
Toto je nesprávny argument. Napríklad sa pozrime na množinu $G=\{2\}$. Táto množina je podmnožina $\mathbb R$. Ale $+$ a $\cdot$ nie sú binárne operácie na $G$:Klasické sčitovanie a násobenie na množine $\mathbb R$ sú binárne operácie. $F$ je podmnožina $\mathbb R$, takže aj tu sú sčitovanie a násobenie binárne operácie.
$2+2=4\notin G$;
$2\cdot2=4\notin G$.
Neviem, či niektorých z vás poplietlo označenie $\mathbb Q^2$. (Je to len iný zápis pre $\mathbb Q\times\mathbb Q$, čiže množinu usporiadaných dvojíc reálnych čísel.) Vo viacerých úlohách sa však záhadne objavovali $a^2+b^2\sqrt3$; nie je mi jasné prečo a ani to, čo ste s nimi chceli robiť.
Pri výpočte inverzného prvku sa objavilo tvrdenie, že
To nie je pravda.$\frac1{a+b\sqrt3}=\frac1a+\frac1{b\sqrt3}$
Napríklad ak $a=b=1$, tak uvedené výrazy sú $\frac1{1+\sqrt3}$ a $1+\frac1{\sqrt3}$.
Ak by sa rovnali, tak vynásobením $1+\sqrt3$ a $1+\frac1{\sqrt3}$ by sme mali dostať jednotku, ľahko sa presvedčíme, že to nefunguje:
$(1+\sqrt3)(1+\frac1{\sqrt3})=1+\sqrt3+\frac1{\sqrt3}+1=2+\sqrt3+\frac{\sqrt3}3>1$.
(Mohli by sme tento výraz doupravovať do tvaru $2+\frac{4\sqrt3}3$, ale už aj z tvaru, ktorý sme dostali v predošlom riadku, je zrejmé, že výsledok je väčší ako $1$. A v podstate sa to dalo vidieť hneď bez akýchkoľvek výpočtov - je to súčin dvoch čísel, obe sú väčšie ako 1.)
Podobne vo všeobecnosti neplatí $\frac1{a+b}=\frac1a+\frac1b$. Toto je v podstate stredoškolská chyba - treba si na ňu dávať pozor.
Pri overovaní, či ide o binárnu operáciu, si vezmem ľubovoľné dva prvky z $F$ a potrebujem skontrolovať, či ich súčet/súčin je z $F$.
Ak ste napísali, že
a zdôvodnili, že prvky na pravých stranách týchto rovností sú z $F$, tak to ešte nie je dôkaz toho, že je to binárna operácia.$(a+b\sqrt3)+(a+b\sqrt3)=2a+2b\sqrt3$
$(a+b\sqrt3)(a+b\sqrt3)=a^2+3b^2+2ab\sqrt3$
Nesčitujete (nenásobíte) tu totiž dva ľubovoľné prvky z $F$, ale dvakrát ten istý prvok.