Môžu sa používať všetky nerovnosti a rovnosti, o ktorých sme dokázali, že platia pre všetky kardinály a tiež platnosť rovností $\alnul+\alnul=\alnul.\alnul=\alnul$ a $\mfr c=2^{\alnul}$. Ak budete pri výpočtoch potrebovať nejaké ďalšie pomocné výsledky o kardináloch, treba uviesť aj ich dôkaz.
Ak je použitý zápis $a^{b^c}$, myslí sa tým $a^{(b^c)}$ a nie $(a^b)^c$. (Čo je asi vcelku prirodzené, lebo $(a^b)^c$ by sme mohli prepísať ako $a^{bc}$; ale pre istotu som to zdôraznil.)
Čiže napríklad nie je povolené používať $a+b=\max\{a,b\}$. (Spomenuli sme si, že táto rovnosť platí pre ľubovoľné nekonečné kardinály, ale iba bez dôkazu.) Vecí, ktoré sme spomenuli bez dôkazu bolo viacero. Samozrejme, môže byť pre vás užitočné takéto niečo vedieť. Napríklad z tejto rovnosti vyplýva $\alnul+\mfr c=\mfr c$ (lebo $\alnul\le\mfr c$). Takže ak by ste riešili úlohu čomu sa rovná $\alnul+\mfr c$, už viete aký má vyjsť výsledok - akurát by ste sa to mali pokúsiť zdôvodniť pomocou vecí, ktorých dôkazy poznáte z prednášky a nie na základe tejto rovnosti.
Môžeme používať napríklad veci ako Cantor-Bernsteinovu vetu; implikáciu $b\le c$ $\Rightarrow$ $a^b\le a^c$ a pod. (Veci, ktoré sme na prednáške dokázali, prípadne dôkazy zostali pre vás ako cvičenie, keďže boli ľahké.)
Aby bolo jasnejšie, čo sa od vás v takejto úlohe očakáva, skúsme si ukázať nejaký takýto príklad. (Snáď nejaké stihneme aj na cviku, skúsme tu nejaký príklad rozpísať poriadne, aby ste vedeli, čo zhruba by som čakal, že bude napísané vo vašich riešeniach.) Používajú sa tam aj nejaké veci, ktoré budú na prednáške až dnes.
Úloha: Vypočítajte $\mfr c^{2^\mfr c}$. (T.j. zistite, či je daný kardinál rovný niektorému z čísel $\alnul$, $\mfr c$, $2^{\mfr c}$, $2^{2^\mfr c}$.)
Riešenie: Platí
$$2^{2^{\mfr c}} \overset{(1)}\le \mfr c^{2^{\mfr c}} \overset{(2)}\le (2^{\mfr c})^{2^{\mfr c}} \overset{(3)}= 2^{\mfr c\cdot 2^{\mfr c}}.$$
Použili sme:
(1) $2\le\mfr c$ a pre ľubovoľné kardinály $y\le z$ $\Rightarrow$ $y^x\le z^x$
(2) $\mfr c\le 2^{\mfr c}$ vyplýva z toho, že $a\le 2^a$ platí pre ľubovoľné kardinály. (Z Cantorovej vety dokonca vieme, že $a<2^a$.) Ďalej sme použili $y\le z$ $\Rightarrow $ $x^y\le x^z$
(3) Využili sme $(x^y)^z=x^{yz}$
(V d.ú. či na písomke nemusíte takto podrobne rozpisovať jednotlivé kroky, chcel som to tu ale napísať tak, aby bolo vidno, že používame naozaj iba "povolené" rovnosti - čo by ste si mali pri výpočte aspoň rozmyslieť. Čo však treba uviesť sú dôkazy pomocných vecí - v tomto prípade tie, čo nasledujú teraz.)
Keby sme ešte vedeli dokázať $\mfr c 2^{\mfr c}=2^{\mfr c}$, tak už máme nerovnosti
$$2^{2^{\mfr c}} \le \mfr c^{2^{\mfr c}} \le 2^{2^{\mfr c}}$$
a z Cantor-Bernsteinovej vety potom už vyplýva rovnosť $2^{2^{\mfr c}} = \mfr c^{2^{\mfr c}}$.
Skúsme teda ešte zdôvodniť $\mfr c 2^{\mfr c}=2^{\mfr c}$.
Opäť máme
$$2^{\mfr c} \le \mfr c 2^{\mfr c} \le 2^{\mfr c} 2^{\mfr c} = 2^{\mfr c+\mfr c}.$$
(Použili sme $\mfr c\le 2^{\mfr c}$ a základné pravidlá pre rovnosti a nerovnosti platné pri umocňovaní kardinálov.)
Už by nám teda stačilo dokázať $\mfr c=\mfr c+\mfr c$. (Potom máme v predošlej postupnosti nerovností všade rovnosť, opäť na základe Cantor-Bernsteinovej vety.)
Na to môžeme opäť použiť podobný postup:
$\mfr c\le\mfr c+\mfr c= 2\mfr c\le \mfr c\mfr c=2^{\alnul}2^{\alnul}=2^{\alnul+\alnul}=2^{\alnul}=\mfr c$.
Máme obe nerovnosti a podľa Cantor-Bernsteinovej vety teda platí rovnosť $\mfr c=\mfr c+\mfr c$.