Chceme dokázať, že $[\vec\alpha, \vec\beta]$ = $[\vec\alpha, \vec\beta, \vec\gamma]$Úloha 5.1. Nech $\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma\in V$, kde $V$ je ľubovoľný vektorový priestor. Dokážte: Ak $\vec\alpha$, $\vec\beta$, $\vec\gamma$ sú lineárne závislé a súčasne $\vec\alpha$, $\vec\beta$ sú lineárne nezávislé, tak $\vec\gamma$ je lineárna kombinácia vektorov $\vec\alpha$ a $\vec\beta$.
Dokážeme obidve inklúzie.
1) Podmnožina $[\vec\alpha, \vec\beta] \subseteq [\vec\alpha, \vec\beta, \vec\gamma]$ je zrejmá.
2) Keďže $\vec\gamma = a\vec\alpha + b\vec\beta$ (gamu vieme dostať lineárnou kombináciou vektorov $\vec\alpha$ a $\vec\beta$),
tak potom existuje nejaký vektor $\vec\delta$, pre ktorý platí
$\vec\delta = a\vec\alpha + b\vec\beta + c\vec\gamma = a\vec\alpha + b\vec\beta + c(d\vec\alpha + e\vec\alpha) = a\vec\alpha + b\vec\beta + cd\vec\alpha + ce\vec\alpha = (a+cd)\vec\alpha + (b+ce)\vec\beta$
Čo znamená, že aj $\vec\delta \in [\vec\alpha, \vec\beta]$ , čiže platí aj opačná inklúzia.