Úloha 4.3.1.

[Filip Sulik]

Úloha 4.3.1. Dokážte, že vektory $\overrightarrow {~α_1}, . . . , \overrightarrow {~α_n} ∈ V$ , kde $n ≥ 2$, sú lineárne závislé práve
vtedy, keď niektorý z nich je lineárnou kombináciou nasledujúcich.

$\Rightarrow$

Vyberieme si prvé nenulové $c_k$, kde $k$ je index prvého nenulového $c$.

Potom $c_k\overrightarrow {~α_k} + ... + c_n\overrightarrow {~α_n} = \overrightarrow {0}$ a úpravou dostaneme $c_k\overrightarrow {~α_k} = -c_{k+1}\overrightarrow {~α_{k+1}} - ... - c_n\overrightarrow {~α_n}$.

Pretože $c_k \neq 0$ bude mať inverzný prvok ${c_k}^{-1}$ a tým keď vynásobíme pravú aj ľavú stranu našej predošlej rovnice dostaneme...

$\overrightarrow {~α_k} = -{c_k}^{-1}c_{k+1}\overrightarrow {~α_{k+1}} - ... - {c_k}^{-1}c_n\overrightarrow {~α_n}$.

Z tohoto už vidíme, že $\overrightarrow {~α_k}$ je lineárnou kombináciou $\overrightarrow {~α_{k+1}} , ... ,\overrightarrow {~α_n}$.

$\Leftarrow$

BÚNV

$\overrightarrow{~α_1} = c_2\overrightarrow{~α_2} + c_3\overrightarrow{~α_3} + ... + c_n\overrightarrow{~α_n}$ $\implies$ $\overrightarrow{0} = -\overrightarrow{~α_1} + c_2\overrightarrow{~α_2} + ... + c_n\overrightarrow{~α_n}$

Teda vidíme, že minimálne jedno $c$ sa nerovná nula, ale rovná sa $-1$.

[Martin Sleziak]

Riešenie je správne.
Mala by to byť analógia vety 4.3.14.
Zrejme do zadania by som mal dať podmienku $\vec\alpha_n\ne\vec0$.
(Alebo druhá možnosť znamená, že pripustíme možnosť, že $\vec\alpha_n=\vec0$. A vtedy by sme to tvrdenie chápali tak, že $\vec0$ je lineárna kombinácia prázdnej množiny vektorov. Vo vašom dôkaze by to bol prípad, keď $k=n$.)