Prémiové úlohy ZS 2015/16

[Martin Sleziak]

Na stránke som konečne doplnil nejaké ďalšie prémiové úlohy: http://msleziak.com/vyuka/2015/lag/premie.pdf
(Doteraz tam boli iba tri úlohy o grupách.)

Niektoré z nich sú také, že si k nim treba aj niečo viac prečítať. Na niektoré bude treba vedieť niečo o kardinalite a kardinálnych číslach - mali by ste tieto veci prebrať do konca semestra na diskrétnej matematike.

Prémie rozhodne nie sú rovnakej obtiažnosti. Niektoré z nich sú také, že sa náročnosťou blížia k štandardným úlohám, aké dostávate na písomke. Prinajmenšom jedna z nich je podľa môjho názoru naozaj veľmi náročná. Beriem to tak, že prémie sú skôr pre ľudí, ktorým sa zdajú veci preberané na cvikách príliš ľahké a chcú si vyskúšať nejaké ťažšie úlohy. (Prinajmenšom podľa toho, že viacero ľudí malo z prvej písomky malo plný počet, by sa dalo čakať, že sa zopár takých ľudí medzi vami nájde.)

Takže určite je aj jednoduchší spôsob ako získať 1 bod než riešením prémiovej úlohy. Ale azda aspoň pre niektorých z vás by mohli byť tieto bonusové úlohy zaujímavé.

Ak by boli v zadaniach prémií nejaké nejasnosti, tak sa dá pýtať tu.

[Martin Sleziak]

Ešte som trochu zvažoval, či prémia 10 nie je príliš ťažká a nemám k nej pridať hint.
Na druhej strane možno niektorí z vás chcú vyriešiť úlohu bez nápovedy. (Napokon je to asi väčšia zábava, keď človek príde na veci sám.)

Tak som to vyriešil tak, že hint k tej úlohe pridám sem. (Keďže v pdf-ku neviem vyrobiť skrytý text.)

Ide o túto úlohu:

Ukážte, že dimenzia priestoru $\mathbb R^{\mathbb N}$ všetkých reálnych postupností je $\mathfrak c$. (Táto úloha sa dá ekvivalentne sformulovať ako: Ukážte, že v $\mathbb R^{\mathbb N}$ existuje lineárne nezávislá množina kardinality $\mathfrak c$.)

Spoiler:

Hint 1: Môže pomôcť pozerať sa na postupnosti tvaru $(1,x,x^2,x^3,\dots)$
Hint 2: Môže pomôcť dokázať, že existuje systém $\mathcal A\subseteq\mathcal P(\mathbb N)$ taký, že $|\mathcal A|=\mathfrak c$ a prienik ľubovoľných dvoch množín z tohoto systému je konečný.
Hint 3: Ak vymyslíte nejaké riešenie úplne iné, než sú tie dve, ku ktorým smerujú predošlé dva hinty, tak sa nimi nenechajte pomýliť.