10. prednáška (26.11.)
Ukázali sme, že ak $p\mid F_m$, tak $p=k2^{m+1}+1$.
Dokázali sme identitu $n=\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d)$.
Lagrangeova a Wilsonova veta. Ukázal som jeden dôkaz Lagrangeovej vety. (Spomenul som tiež, ako vyplýva z toho, čo viete o počte koreňov polynómu nad poľom.Nerobil som dôkaz pomocou Vandermondovho determinantu.) Urobil som dva dôkazy Wilsonovej vety. (Nerobil som kombinatorický dôkaz.)
Preskočil som dôkaz, že $\limsup \varphi(n)/n=1$ a $\liminf \varphi(n)/n=0$. (A teda ho nebudem ani skúšať.)
Möbiova inverzia. Möbiova funkcia, Möbiova inverzia.
Prednášky ZS 2015/16
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2015/16
11. prednáška (3.12.)
Kvadratické kongruencie. Definícia kvadratických zvyškov a nezvyškov. Legendrov symbol. Eulerovo kritérium. Základné vlastnosti. Vyjadrenie $\left(\frac{-1}p\right)$ a $\left(\frac{2}p\right)$. Gaussova lema.
Kvadratické kongruencie. Definícia kvadratických zvyškov a nezvyškov. Legendrov symbol. Eulerovo kritérium. Základné vlastnosti. Vyjadrenie $\left(\frac{-1}p\right)$ a $\left(\frac{2}p\right)$. Gaussova lema.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2015/16
12. prednáška (10.12.)
Legendrov symbol. Vyjadrenie Lengedrovho symbolu ako $\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^{\sum\limits_{k=1}^{(p-1)/2}\left\lfloor\frac{ak}p\right\rfloor}$ pre nepárne $a$. Zákon kvadratickej reciprocity.
Príklad výpočtu Legendrovho symbolu pomocou zákona kvadratickej reciprocity. Odvodenie, pre ktoré prvočísla je $3$ kvadratický zvyšok.
Jacobiho symbol. Definícia a základné vlastnosti.
Legendrov symbol. Vyjadrenie Lengedrovho symbolu ako $\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^{\sum\limits_{k=1}^{(p-1)/2}\left\lfloor\frac{ak}p\right\rfloor}$ pre nepárne $a$. Zákon kvadratickej reciprocity.
Príklad výpočtu Legendrovho symbolu pomocou zákona kvadratickej reciprocity. Odvodenie, pre ktoré prvočísla je $3$ kvadratický zvyšok.
Jacobiho symbol. Definícia a základné vlastnosti.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2015/16
13. prednáška (17.12.)
Jacobiho symbol. Výjadrenie $\left(\frac{-1}p\right)$ a $\left(\frac2p\right)$.Zákon kvadratickej reciprocity. Ukážka použitia na výpočet Jacobiho symbolu.
Pre neštvorec existuje nekonečne veľa prvočísel modulo ktoré je to kvadratický zvyšok.
Kvadratické kongruencie modulo zložené čísla. Stihol som ukázať ako je to modulo $p^n$ pre nepárne prvočíslo $p$ a modulo $2^n$. (Kombináciou týchto výsledkov a činskej vety o zvyškoch by ste takúto otázku mali byť schopní vyriešiť aj modulo akékoľvek zložené číslo.)
Jacobiho symbol. Výjadrenie $\left(\frac{-1}p\right)$ a $\left(\frac2p\right)$.Zákon kvadratickej reciprocity. Ukážka použitia na výpočet Jacobiho symbolu.
Pre neštvorec existuje nekonečne veľa prvočísel modulo ktoré je to kvadratický zvyšok.
Kvadratické kongruencie modulo zložené čísla. Stihol som ukázať ako je to modulo $p^n$ pre nepárne prvočíslo $p$ a modulo $2^n$. (Kombináciou týchto výsledkov a činskej vety o zvyškoch by ste takúto otázku mali byť schopní vyriešiť aj modulo akékoľvek zložené číslo.)