Absolútna spojitosť $x^2\sin^2\frac1x$

[Martin Sleziak]

Dnes sme sa rozprávali o tom, či funkcia
$$f(x)=
\begin{cases}
0 & \text{ak }x=0, \\
x^2\sin^2\frac1x & \text{ak }x\ne0.
\end{cases}
$$
je absolútne spojitá.

Malo to poslúžiť ako príklad na to, že zloženie dvoch absolútne spojitých funkcií nie je absolútne spojité. Ak ju zložíme s funkciou $g(x)=\sqrt{x}$, tak dostaneme
$$g(f(x))=
\begin{cases}
0 & \text{ak }x=0, \\
x\sin\frac1x & \text{ak }x\ne0.
\end{cases}
$$
Toto je funkcia, ktorá nemá ohraničenú variáciu a nie je teda ani absolútne spojitá.

Of funkcii $f(x)$ sa dá vcelku ľahko skontrolovať, že je diferencovateľná. (Dokonca derivácia je ohraničená na ľubovoľnom uzavretom intervale.)
$$f'(x)=
\begin{cases}
0 & \text{ak }x=0, \\
2x\sin^2\frac1x - 2\sin\frac1x\cos\frac1x & \text{ak }x\ne0.
\end{cases}
$$

Diferencovateľná funkcia má Luzinovu vlastnosť (N) podľa vety 21.9.

Súčasne je funkcia $f(x)$ spojitá a má ohraničenú variáciu, takže bude absolútne spojitá podľa lemy 21.19.

******

Ešte som skúsil trochu hľadať na internete a narazil som na toto, kde sa ukzauje, že $x^2\sin\frac1x$ je lipschitzvoská:
Lipschitz-continuous $f(x)=x^2\cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right)$.

Tu som našiel presne otázku, či zloženie dvoch absolútne spojitých funkcií je absolútne spojitá. V odpovedi niekto navrhol presne taký istý príklad ako V.B.: Composition of two absolute functions.