Uloha 2.1.11*. - potrebujem hint (invertibilita 1-ba)

[Marek Kukan]

Neviem to dokazat ani po hodine rozmyslania. Hodil by sa mi k tomu nejaky hint. :-)

[Martin Sleziak]

Neviem to dokazat ani po hodine rozmyslania. Hodil by sa mi k tomu nejaky hint.

Dám sem pre ostatných text úlohy, nejaké hinty dám ako samostatný post (možno ďalšie hinty/nápady navrhne niekto iný.) Okrem toho som pridal do subjectu aspoň niečo k tomu, o čom je úloha - číslovanie sa potenciálne môže meniť, ak budú nejaké nové verzie poznámok. (Aj keď pri už prebratých kapitolách to až také pravdepodobné nie je.)

Nech $(R,+,\cdot)$ je okruh s jednotkou. Ak existuje inverzný prvok vzhľadom na operáciu $\cdot$ k $1-ab$, tak existuje aj inverzný prvok k $1-ba$.

Ak niekto napíšete okrem hintu aj kompletné riešenie, možno sa oplatí použiť spoiler - aby ste dali šancu tým, ktorý chcú prísť na riešenie samostatne.

Spoiler:

Spoiler vyzerá takto

[Martin Sleziak]

Nech $(R,+,\cdot)$ je okruh s jednotkou. Ak existuje inverzný prvok vzhľadom na operáciu $\cdot$ k $1-ab$, tak existuje aj inverzný prvok k $1-ba$.

Mne sa táto úloha zdá pekná preto, že ak viete, čo má vyjsť (niekto vám to prezradí, alebo uhádnete), tak je úloha už ľahká. Zaujímavejšie je ale, ako sa na ten ty na inverz k $1-ba$ dá prísť.

Čiže začnem tým, že napíšem, čo má vyjsť; ale asi nás väčšmi zaujíma, ako sa dostať k "tipu" na inverz, než samotné overenie, takže túto prvú časť radšej preskočte, ak sa stále chcete pokúsiť s pomocou hintov nájsť vhodný tip samostatne.

Výsledok má byť

Spoiler:

$1+bca$, ak sme označili $c=(1-ab)^{-1}$

Detailný výpočet, ktorý by mal byť ale ľahký:

Spoiler:

Ak $c=(1-ab)^{-1}$, tak máme priamym výpočtom: $(1+bca)(1-ba)=1+bca-ba-bcaba=
1-ba+bc(1-ab)a=1-ba+ba=1,$ podobne $(1-ba)(1+bca)=1-ba+bca-babca=1-ba+b(1-ab)ca=1-ba+ba=1.$

Takže ak ste nazreli do tých predošlých častí, už viete, že keď správne uhádneme tvar inverzu je to ľahké - alebo ste tam nenazreli a uverili, otázka je ako nájsť dobrý tip. Na to je určite veľa možností, napíšem niektoré, o akých viem ja.

**************************

Hint 1: Možno by stálo za pokus pozrieť sa na to v nejakých jednoduchých okruhoch, s ktorými vieme dobre pracovať (alebo aspoň pre niektoré prvky), a ak to budeme vedieť vymyslieť tam, tak to možno zovšeobecníme.
Je pomerne veľa situácií, v ktorých vieme, že
$$(1-x)^{-1}=1+x+x^2+x^3+\dots$$
Napríklad v reálnych číslach pre prvky v absolútnej hodnote menšie ako 1. (Čo pre naše účely nie je úplne ideálne, lebo naše zadanie je skôr zaujímavé pre nekomutatívne okruhy. Ale aj to môže priniesť nejaký insight.) Ale možno ste sa už stretli s tým, že niečo podobné platí napríklad v okruhu matíc, ak $x$ je taká matica, že uvedený rad bude konvergovať. Pozri aj Neumann series na Wikipedii. (S veľmi veľkou pravdepodobnosťou sa s týmto výsledkom stretnete na predmete funkcionálna analýza približne v takej formulácii ako je na Wiki.)

Čiže prvý hint je - ak vyjadríme inverzy k $1-ab$ a $1-ba$ ako geometrický rad, vieme potom nejako vyjadriť jeden z nich pomocou druhého? Ak áno, vedeli by sme dokázať toto vyjadrenie všeobecne (t.j. aj pre prípady, kde robiť geometrický rad nemá zmysel)?

Detaily riešenia:

Spoiler:

$\begin{align*}
(1-ab)^{-1}&=1+ab+abab+\ldots\\
(1-ba)^{-1}&=1+ba+baba+\ldots = 1+b(1+ab+abab+\ldots)a= 1+bca
\end{align*}$

Poznámka: Toto je riešenie, na ktoré som ja prišiel ako prvé - asi to súvisí s tým, že som už viackrát videl Neumannov rad, tak mi prišlo prirodzené niečo také skúšať.

***************

Hint 2: Teraz budeme pracovať v ľubovoľnom okruhu, pozrieme sa na to, čo vieme a skúsime sa dopracovať k tomu, čo by sme vedeli odvodiť o $(1-ba)^{-1}$, resp. či by sme dokonca vedeli nájsť vyjadrenie pomocou $a$, $b$ a $c=(1-ab)^{-1}$. (S týmto hintom mám trochu problém, pokiaľ ešte mám zájsť, aby som vám na jednej strane pomohol a na druhej strane neprezradil priveľa - skoro celé riešenie. Preto som to rozdelil na tak veľa častí - môžete si vždy pozrieť iba časť riešenia a skúsiť sa zamyslieť. čo ďalej - a komu sa nebude chcieť rozmýšľať, alebo to už vzdá, tak si môže samozrejme pozrieť všetky časti.)

Označili sme teda $c=(1-ab)^{-1}$, teda vieme $(1-ab)c=c(1-ab)=1$.

Stučný podhint: Skúste si napísať rovnosti, ktoré máte doteraz, a skúšať, či z prvku $(1-ba)$ viete vhodným prenásobením dostať jednotku.

Detailnejší podhint:

Spoiler:

Chceme využiť, že $(1-ab)c=1$, čiže ak by sme prvok $(1-ba)$ násobili sprava $c$, nevieme to využiť. Skúsme ho vynásobiť $bc$, lebo potom tam dostaneme výraz $abc$, k ktorom už kadečo vieme. Skúsme teda zrátať $(1-ba)bc$. Čo dostaneme?

Výpočet z predošlého podhintu (aby ste si ho mohli skontrolovať)

Spoiler:

$(1-ba)bc=bc-babc=b(1-ab)c=b$

Z rovnosti, ktorú sme teraz dostali už nie je ťažké dostať jednotku:

Spoiler:

Vynásobme obe strany $a$:
$(1-ba)bca=ba$.

Pripočítajme k obom stranám $(1-ba)$.
$(1-ba)+(1-ba)bca=1$
$(1-ba)(1+bca)=1$

Našli sme teda prvok taký, že ak ním vynásobíme $(1-ba)$ sprava, tak vyjde 1. Treba ešte skontrolovať, či to vyjde aj zľava.

Aby som sa nechváli cudzím perím, na toto riešenie som neprišiel ja - mám ho odtiaľto: http://www.sosmath.com/CBB/viewtopic.php?t=33896 (Urobil som oproti nemu nejaké drobné zmeny, dúfam, že som tam pritom nepridal nejaké chyby.)

******************

Niekedy sa podobná úloha vyskytne ako cvičenie v kurze lineárnej algebry - ak je matica $I-AB$ invertovateľná (regulárna), treba ukázať, že aj $I-BA$ je invertovateľná. Tam môžeme použiť aj iné prístupy (keď pracujeme s maticami, tak poznáme veľa kritérií na to, či nejaká matica je invertovateľná; vieme kadečo o hodnosti matíc a jadre a obraze). Čiže ak si chcete zopakovať lineárnu algebru a prácu s maticami, toto je celkom zaujímavá úloha, ja sem pridám zopár liniek, kde sa dá nájsť riešenie:
* http://planetmath.org/encyclopedia/IABI ... tible.html
* http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... hp?t=86370
* http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... p?t=110427
* http://www.ocf.berkeley.edu/~wwu/cgi-bi ... 1081577790

Prípadne rovno môžete hodiť do googlu math forum "I-AB" invertible, medzi výsledkami, čo vám vyhodí, bude isto dosť veľa relevantých k tejto úlohe. Takisto ak hľadáte "I-AB" invertible v google books, zdá sa, že je tam medzi výsledkami zopár riešení tejto úlohy.

A keď už teda skúšame google, skúsme ho i na pôvodne zadanie:
google books ring "1-ab" invertible
google ring "1-ab" invertible
google ring "1-ab" invertible math forum

Môžete pozrieť aj na niektoré veci, čo nájdete takto - možno to tam je napísané zrozumiteľnejšie, než som to napísal ja.

[Marek Kukan]

Dakujem, uz som na to prisiel. :-)

[Martin Sleziak]

Niekedy sa podobná úloha vyskytne ako cvičenie v kurze lineárnej algebry - ak je matica $I-AB$ invertovateľná (regulárna), treba ukázať, že aj $I-BA$ je invertovateľná. Tam môžeme použiť aj iné prístupy (keď pracujeme s maticami, tak poznáme veľa kritérií na to, či nejaká matica je invertovateľná; vieme kadečo o hodnosti matíc a jadre a obraze). Čiže ak si chcete zopakovať lineárnu algebru a prácu s maticami, toto je celkom zaujímavá úloha, ja sem pridám zopár liniek, kde sa dá nájsť riešenie:
* http://planetmath.org/encyclopedia/IABI ... tible.html
* http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... hp?t=86370
* http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... p?t=110427
* http://www.ocf.berkeley.edu/~wwu/cgi-bi ... 1081577790

Prípadne rovno môžete hodiť do googlu math forum "I-AB" invertible, medzi výsledkami, čo vám vyhodí, bude isto dosť veľa relevantých k tejto úlohe. Takisto ak hľadáte "I-AB" invertible v google books, zdá sa, že je tam medzi výsledkami zopár riešení tejto úlohy.

Náhodou som teraz narazil na úlohu, kde sa tvrdí, že to prejde aj pre neštvorcové matice. Čo je zaujímavá úloha (a ja som ju doteraz nepoznal). Tak pridám link, kde som to našiel:
$I_m - AB$ is invertible if and only if $I_n - BA$ is invertible (MSE)

[Martin Sleziak]

Ešte pridám túto linku How would you solve this tantalizing Halmos problem? (MathOverflow) a zacitujem odtiaľ toto:

Why does it all this work? What goes on here? Why does it seem that the formula for the sum of an infinite geometric series is true even for an abstract ring in which convergence is meaningless? What general truth does the formula embody? I don't know the answer, but I note that the formula is applicable in other situations where it ought not to be, and I wonder whether it deserves to be called one of the (computational) elements of mathematics. -- P. R. Halmos

Halmos, P.R. Does mathematics have elements? Math. Intelligencer 3 (1980/81), no. 4, 147-153. http://dx.doi.org/10.1007/BF03022973