Úloha 7.6.* Určte hodnosť ,,polynomiálnej'' matice:

[bui]

Úloha 7.6.*
Určite hodnosť matice:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & \ldots & 1 & 1\\
a_1 & a_2 & \ldots & a_n & a_{n+1} \\
a_1^2 & a_2^2 &\ldots & a_n^2 & a_{n+1}^2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_1^n & a_2^n &\ldots & a_n^n & a_{n+1}^n
\end{pmatrix}
$$
ak viete, že $a_1, \ldots, a_{n+1}$ sú navzájom rôzne reálne čísla
(t.j. $a_i\neq a_j$ pre všetky $i\neq j$).

Pri riešení tejto úlohy môžete použiť fakt, že elementárne stĺpcové operácie nemenia hodnosť, resp. to, že $h(A)=h(A^T)$. (Tento fakt dokážeme neskôr.) Ale mala by sa dať vyriešiť aj bez použitia tejto veci.

Podľa poslednej vety nám stačí zistiť hodnosť transponovanej matice. Pozrime sa na homogénnu sústavu rovníc tvorenú maticou $A^T$, teda
$$
\left(
\begin{array}{ccccc|c}
1 & a_1 & \ldots & a_1^{n-1} & a_1^n & 0 \\
1 & a_2 & \ldots & a_2^{n-1} & a_2^n & 0 \\
1 & a_3 &\ldots & a_3^{n-1} & a_3^n & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\
1 & a_{n+1} &\ldots & a_{n+1}^{n-1} & a_{n+1}^n & 0
\end{array}
\right)
$$
Nech $k_0,k_1,\ldots,k_n$ je ľubovoľné riešenie. Pozrime sa na polynóm $P(x) = k_0 x^0 + k_1 x^1 + \ldots + k_n x^n$. Z našej sústavy vyplýva $P(a_1) = P(a_2) = \ldots = P(a_{n+1}) = 0$, takže $P$ má aspoň $n+1$ koreňov (nakoľko $a_1,a_2,\ldots,a_{n+1}$ sú navzájom rôzne). Na druhej strane je $P$ stupňa najviac $n$, takže ak nie je nulový, tak má najviac $n$ koreňov. Nutne je teda $P$ nulový polynóm, a teda $k_0 = k_1 = \ldots = k_n = 0$.

Ukázali sme, že každé riešenie sústavy je identické s $k_0 = k_1 = \ldots = k_n = 0$, takže dimenzia vektorového priestoru riešení je $0$. Potom, pretože $d = n+1 - h(A^T)$ (kde $d$ je oná dimenzia), dostávame $h(A^T) = n+1$.

[Martin Sleziak]

Veľmi šikovné riešenie. Značím si 1 bod.

Ak sa niekto pustí do riešenia úlohy 11.1, ktorá sa týka determinantu tejto matice, tak pravdepodobne uvidíme ešte aj nejaké iné riešenie. (Bez využívania nejakých faktov o polynómoch. Môžete si všimnúť, že takéto riešenie by neprešlo v ľubovoľnom poli; ale otázka bola o $\mathbb R$.) Ak sa totiž podarí dokázať, že determinant je nenulový, tak matica má plnú hodnosť.

Počkám ešte, či niekto bude riešiť tú úlohu o determinante. Potom do niektorej z týchto dvoch úloh pridám nejaké linky, kde sa dá o tej matici dozvedieť viac. (Táto matice je pomerne známa a dá sa občas využiť na zdôvodnenie kadečoho užitočného.)