Kedy je zjednotenie podpriestorov opäť podpriestor?

[Martin Sleziak]

Toto bolo na písomke ako bonusová úloha.

Ukážte, že platí nasledujúce tvrdenie: Nech $S$, $T$ sú podpriestory vektorového priestoru $V$. Potom $S\cup T$ je podpriestor $V$ práve vtedy, keď $S\subseteq T$ alebo $T\subseteq S$.

Dôkaz
$\boxed{\Leftarrow}$ Ak $S\subseteq T$, tak $S\cup T=T$. Teda $S\cup T$ je podpriestor.

Podobne v prípade $T\subseteq S$ dostaneme, že zjednotenie $T\cup S$ sa rovná podpriestoru $S$.

$\boxed{\Rightarrow}$ Nepriamo. Nech $S\cup T$ je podpriestor a nech by platilo $S\not\subseteq T$ a $T\not\subseteq S$.

Potom existuje nejaký vektor $\vec s\in S\setminus T$.
A tiež existuje nejaký vektor $\vec t\in T\setminus S$.

Čo vieme povedať o vektore $\vec s+\vec t$?
Pretože $\vec s,\vec t\in S\cup T$ a $S\cup T$ je podpriestor, máme aj $\vec s+\vec t\in S\cup T$.
Teda tento vektor patrí do $S$ alebo do $T$.

Ak $\vec s+\vec t \in S$, tak aj $\vec t=(\vec s+\vec t)-\vec s \in S$, čo je spor.
Ak $\vec s+\vec t \in T$, tak aj $\vec s=(\vec s+\vec t)-\vec t \in T$, čo je spor.
$\square$

[Martin Sleziak]

Komentáre k odovzdaným písomkám

V písomkách, ktoré som opravoval, sa objavili správne riešenie iba pre ľahšiu implikáciu. (Ak jeden z podpriestorov, je podmnožina druhého, tak aj zjednotenie je podpriestor.) Úlohu som bodoval veľmi mierne - už za túto (pomerne ľahkú) implikáciu som dal 2 body.

Niektorí ste nakreslili obrázok dvoch množín takých, že $S\not\subseteq T$ a $T\not\subseteq S$ a tvrdili ste, že to je kontrapríklad.
Vôbec ste sa nepozerali na to, že aby to bol kontrapríklad, tak by tieto množiny museli byť súčasne podpriestory nejakého vektorového priestoru.

Niektorí ste napísali, že idete dokazovať: $S\cup T\subseteq V$ $\Leftrightarrow$ $S\subseteq T$ $\lor$ $T\subseteq S$.
To je úplne iné tvrdenie, než je v zadaní.
(Je rozdiel medzi tvrdením, že $S\cup T$ je podmnožina $V$ a tvrdením, že $S\cup T$ je podpriestor $V$.)
Predpokladám, že viacerí, ktorí ste napísali toto, ste mali na mysli podpriestor a nie podmnožinu. (A ak to, čo ste napísali, sa dalo chápať takto, tak som za to aj dal nejaké body.)