Vektor kolmý na každý vektor z ortonormálnej bázy

[Martin Sleziak]

Niekto sa pýtal mailom na tento príklad - napíšem jedno možné riešenie radšej sem. (Ľahšie sa tu píše matematika ako do mailu. A navyše si to takto môžu pozrieť aj ostatní. A môžete sa samozrejme pýtať, ak by bolo niečo nejasné. Alebo navrhnúť iné riešenie, ak by ste na nejaké prišli.)

Nech $(\vec a_1,\dots,\vec a_n)$ je ortonormálna báza priestoru $V$ so skalárnym súčinom $\langle\cdot,\cdot\rangle$. Dokážte, že ak $\vec x \in V$ a $\langle \vec x, \vec a_i \rangle=0$ pre $i=1,\dots,n$, tak $\vec x=\vec 0$.

Pretože vektory $\vec a_1,\dots,\vec a_n$ tvoria bázu, vektor $\vec x$ sa dá vyjadriť ako ich lineárna kombinácia:
$$\vec x=c_1\vec a_1+\dots+c_n\vec a_n.$$
Čo viete potom povedať o koeficientoch $c_1,\dots,c_n$ na základe podmienky, ktorú máte zadanú?

Spoiler:

Hint: Čomu sa rovná $\langle \vec x,\vec a_i\rangle$?

Spoiler:

Pre každé $i$ dostaneme
$\langle \vec x,\vec a_i\rangle=
\langle c_1\vec a_1+\dots+c_n\vec a_n,\vec a_i\rangle=
c_1\langle \vec a_1,\vec a_i\rangle+\dots+c_n\langle \vec a_n,\vec a_i\rangle\overset{(*)}=
c_i$
V rovnosti označenej $(*)$ sme použili, že ide o ortonormálnu bázu, teda $\langle \vec a_i,\vec a_j\rangle=0$ pre $i\ne j$ a $\langle \vec a_i,\vec a_i\rangle=1$.

Zistili sme, že pre $i=1,\dots,n$ platí
$$c_i=\langle \vec x,\vec a_i\rangle=0.$$
Teda všetky koeficienty vystupujúce v lineárnej kombinácii sú nulové a
$$\vec x=c_1\vec a_1+\dots+c_n\vec a_n=
0\cdot\vec a_1+\dots+0\cdot\vec a_n=\vec 0.$$

Otázka: Bude toto tvrdenie platiť aj keď vynecháme požiadavku, aby táto báza bola ortonormálna. T.j. či platí takéto tvrdenie:
Nech $(\vec a_1,\dots,\vec a_n)$ je báza priestoru $V$ so skalárnym súčinom $\langle\cdot,\cdot\rangle$. Dokážte, že ak $\vec x \in V$ a $\langle \vec x, \vec a_i \rangle=0$ pre $i=1,\dots,n$, tak $\vec x=\vec 0$.

Zrejme ak sa budete snažiť takéto niečo dokázať, treba to robiť trochu iným spôsobom. (V predošlom postupe sme využili to, že vektory $\vec a_1,\dots,\vec a_n$ boli na seba kolmé.)

Ak by sa vám s touto otázkou nedarilo pohnúť, tak sa skúste nad ňou zamyslieť najprv v prípade $V=\mathbb R^n$ (s obvyklým skalárnym súčinom).