Úloha 1.2. Dokážte že $H^2 = H\cdot H = H$

[adrianmatejov]

Úloha 1.2. Nech $(G,\cdot)$ je grupa. Pre ľubovoľné podmnožiny $A,B\subseteq G$ definujeme
$$A\cdot B=\{a\cdot b; a,b\in G\}.$$
Dokážte: Ak $H$ je podgrupa grupy $(G,\cdot)$ tak $H^2=H\cdot H = H$.

Keďže $H \subseteq G$, z toho vyplýva, že $H_1\cdot H_2 = \{a\cdot b; a\in H_1, b\in H_2\}$ a $H_1 = H_2$

Potom musí $a$ aj $b$ ležať v $H_1$ aj $H_2$. Keďže $H_1, H_2$ sú podgrupy $G$, platí pre ne binárna operácia, $a,b\in H_i => a\cdot b\in H_i$, existuje neutrálny prvok a každý prvok má aj svoj inverzný.

Takže $a\cdot b = c\implies (c \in H_1 \wedge c \in H_2 \wedge c\in G)$.
Z toho vyplýva, že keď spravíme $H_1\cdot H_2 = \{a\cdot b; a\in H_1, b\in H_2\}$ máme to isté, ako keby sme spravili $H = H_1 = H_2 = \{a\cdot b; a,b \in H\}$

[Martin Sleziak]

Keďže $H \subseteq G$, z toho vyplýva, že $H_1\cdot H_2 = \{a\cdot b; a\in H_1, b\in H_2\}$ a $H_1 = H_2$

Potom musí $a$ aj $b$ ležať v $H_1$ aj $H_2$. Keďže $H_1, H_2$ sú podgrupy $G$, platí pre ne binárna operácia, $a,b\in H_i => a\cdot b\in H_i$, existuje neutrálny prvok a každý prvok má aj svoj inverzný.

Takže $a\cdot b = c\implies (c \in H_1 \wedge c \in H_2 \wedge c\in G)$.
Z toho vyplýva, že keď spravíme $H_1\cdot H_2 = \{a\cdot b; a\in H_1, b\in H_2\}$ máme to isté, ako keby sme spravili $H = H_1 = H_2 = \{a\cdot b; a,b \in H\}$

Takto ako ste to napísali, je pomerne nejasné, čo chcete povedať. Čiže takéto riešenie určite nemôžem uznať.
Napríklad vôbec nie je jasné, čo označujete $H_{1,2}$.
Skúste sa zamyslieť nad tým, či viete lepšie vysvetliť, čo máte na mysli. (A či to je správne.)

Pre prípad, že problémom sú nejasnosti v zadaní, tak ešte trochu okomentujem zadanie úlohy.

Úloha 1.2. Nech $(G,\cdot)$ je grupa. Pre ľubovoľné podmnožiny $A,B\subseteq G$ definujeme
$$A\cdot B=\{a\cdot b; a,b\in G\}.$$
Dokážte: Ak $H$ je podgrupa grupy $(G,\cdot)$ tak $H^2=H\cdot H = H$.

$H^2$ je len zavedenie iného označenia pre $H\cdot H$. Podstatná otázka je, či $H=H\cdot H$. (Pričom podľa definície $H\cdot H=\{a\cdot b; a\in H, b\in H\}$.

Teda by vlastne stačilo vedieť odpovedať na tieto dve otázky:
Ak nejaký prvok patrí do $H$, patrí aj do $H\cdot H$?
Ak nejaký prvok patrí do $H\cdot H$, patrí aj do $H$?

[adrianmatejov]

Napríklad vôbec nie je jasné, čo označujete H1,2.

Tým som si len označil podgrupu $H$ dvoma indexmi, aby som potom odlíšil členy z pri operácii $H\cdot H$. Tu sa to pokúsim vynechať.

Ak nejaký prvok patrí do H, patrí aj do H⋅H?

Chceme dokázať že $a\in H \implies a\in H\cdot H$
To vieme dokázať tak, že v podgrupe $H$ musí existovať neutrálny prvok $e$. Tým pádom $a\cdot e = a \in H\cdot H$

Ak nejaký prvok patrí do H⋅H, patrí aj do H?

Chceme dokázať že $a\cdot b \in H\cdot H \implies a\cdot b\in H$
Nech $a\cdot b \in H\cdot H$. Z predpokladu, že $H$ je podgrupa a toho ako je definovaná operácia $H\cdot H = \{a\cdot b; a,b \in H \subseteq G\}$ vyplýva, že $a\cdot b \in H$.

(Stačí si len uvedomiť, že tá operácia $H\cdot H$ je definovaná presne tak isto, ako operácia v podgrupe $(H, \cdot)$

[Martin Sleziak]

Takto, ako je to napísané teraz, nemám žiadne výhrady proti riešeniu.
Značím si 1 bod.

EDIT: Pridám aj linku na staršie riešenie tejto úlohy viewtopic.php?t=425