Barycentrické súradnice

[Martin Sleziak]

Skupina A

Tvoria body $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ barycentrický súsradnicový systém? Tvoria aj body $B_0=\frac{A_0+A_1}2$, $B_1=\frac{A_1+A_2}2$, $B_2=\frac{A_2+A_3}2$, $B_3=\frac{A_3+A_0}2$ barycentrický súradnicový systém? Svoje tvrdenie zdôvodnite!\\
$A_0=(1,3,1)$;
$A_1=(2,1,1)$;
$A_2=(1,1,4)$;
$A_3=(2,2,1)$.

Skupina B

Tvoria body $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ barycentrický súsradnicový systém? Tvoria aj body $B_0=\frac{A_0+A_1}2$, $B_1=\frac{A_1+A_2}2$, $B_2=\frac{A_2+A_3}2$, $B_3=\frac{A_3+A_0}2$ barycentrický súradnicový systém? Svoje tvrdenie zdôvodnite!\\
$A_0=(1,3,1)$;
$A_1=(2,1,2)$;
$A_2=(1,1,2)$;
$A_3=(2,2,1)$.

Skupina C

Tvoria body $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ barycentrický súsradnicový systém? Tvoria aj body $B_0=\frac{A_0+A_1}2$, $B_1=\frac{A_1+A_2}2$, $B_2=\frac{A_2+A_3}2$, $B_3=\frac{A_3+A_0}2$ barycentrický súradnicový systém? Svoje tvrdenie zdôvodnite!\\
$A_0=(1,3,1)$;
$A_1=(2,1,2)$;
$A_2=(1,1,3)$;
$A_3=(2,2,3)$.

[Martin Sleziak]

Riešenie

Vo všetkých 3 skupinách odpoveď mala byť, až $A_0,\dots,A_3$ tvoria barycentrický súradnicový systém, ale $B_0,\dots,B_3$ barycentrický súrednicový systém netvoria.

Najprv si môžeme všimnúť, že druhá časť sa dala zodpovedať aj bez počítania s konkrétnymi číslami. Napríklad ak si všimneme, že $B_0-B_1+B_2=B_3$, tak vidíme, že nejde o barycentrický súradnicový systém. (To je vlastne to isté ako $B_3-B_0=B_2-B_1$, t.j. $\overrightarrow{B_0B_3}=\overrightarrow{B_1B_2}$.
Bod $B_3$ sme dostali ako barycentrickú kombináciu ostatných bodov - to pre barycentrický súradnicový systém platiť nemôže. (Mali by sme ten istý bod vyjadrený dvoma rôznymi spôsobmi.)

Navyše vo všetkých skupinách boli čísla zadané tak, že body $B_0,\dots,B_3$ mali prvú súradnicu $\frac32$. Z toho vidíme, že tieto body ležia všetky v jednej rovine (konkrétne $x_1=\frac32$). V tejto rovine ležia aj všetky ich barycentrické kombinácie, a teda nemôžeme ako barycentrickú kombináciu týchto bodov dostať každý bod v $\mathbb R^3$. Takto dostávame iný argument, z ktorého je zrejmé, že nejde o b.s.s.

Samozrejme dalo sa to rátať rovnakým spôsobom pre $B_0,\dots,B_3$ aj pre $A_0,\dots,A_3$.
Pozrime sa napríklad na skupinu C.

Ak body $A_0,\dots,A_3$ tvoria b.s.s., tak pre každý bod $P$ má mať sústava rovníc $x_0+x_1+x_2+x_3=1$, $x_0A_0+x_1A_1+x_2A_2+x_3A_3=1$. To znamená, že matica sústavy, ktorú takto dostaneme, by mala byť regulárna. Na overenie, či je skutočne regulárna, môžeme použiť riadkové úpravy alebo napríklad vypočítať determinant.
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 &-2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=-4$
Zistili sme, že uvedený systém rovníc má pre ľubovoľné pravé strany práve jedno riešenie. Teda ide skutočne o barycentrický súradnicový systém.

Iná možnosť je overiť, či vektory $\overrightarrow{A_0A_1}$, $\overrightarrow{A_0A_2}$, $\overrightarrow{A_0A_3}$ tvoria bázu priestoru $\mathbb R^3$. Pre zadané body dostaneme
$\overrightarrow{A_0A_1}=(1,-2,1)$,
$\overrightarrow{A_0A_2}=(0,-2,2)$,
$\overrightarrow{A_0A_3}=(1,-1,2)$.
Nie je ťažké presvedčiť sa - napríklad úpravou na RTM - že tieto vektory sú lineárne nezávislé.
$\begin{pmatrix} 1 &-2 & 1 \\ 0 &-2 & 2 \\ 1 &-1 & 2 \\ \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 &-2 & 1 \\ 0 &-2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 &-2 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 &-2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

[Martin Sleziak]

Ako som síce spomenul, v druhej časti sa dalo aj bez rátania nejako zistiť, že body $B_0,\dots,B_3$ netvoria barycentrickú súradnicovú sústavu bez ohľadu na voľbu bodov $A_0,\dots,A_3$.

Pre konkrétne body, ktoré som zadal, sa dokonca dalo všimnúť, že body $B_0,\dots,B_3$ majú všetky ako prvú súradnicu $\frac32$, teda ležia v jednej rovine a nemôžu tvoriť barycentrickú súradnicovú sústavu. (Ich barycentrickými kombináciami dostaneme opäť iba body z tejto roviny.)

Aj tak sa zastavím pri inej možnosti riešenia druhej časti - ktorá sa objavila v jednej písomke. (Hoci s nesprávnym výsledkom - ale v princípe takýto postup môže viesť k správnemu riešeniu.)

Všimnime si, že barycentrická kombinácia bodov $B_0,\dots,B_3$ sa dá vyjadriť ako
$$\begin{align*} P&=x_0B_0+x_1B_2+x_2B_2+x_3B_3\\ &=x_0\frac{A_0+A_1}2+x_1\frac{A_1+A_2}2+x_2\frac{A_2+A_3}2+x_3\frac{A_3+A_0}2\\ &=\frac{x_0+x_3}2A_0+\frac{x_0+x_1}2A_1+\frac{x_1+x_2}2A_2+\frac{x_2+x_3}2A_3. \end{align*}$$
Súčasne vieme, že $A_0,\dots,A_3$ je barycentrická súradnicová sústava. (To sme overili v prvej časti.)
Teda každý bod sa dá vyjadriť ako barycentrická kombinácia
$$P=y_0A_0+y_1A_1+y_2A_2+y_3A_3.$$
Stačí nám teda vlastne zistiť, či pre ľubovoľné $y_0,\dots,y_3$ vieme nájsť im zodpovedajúce $x_0,\dots,x_3$. Treba však nezabudnúť na to, že ide o barycentrické kombinácie. Teda vieme, že $y_0+y_1+y_2+y_3=1$. A chceme nájsť $x_0,\dots,x_3$ tak, aby pre ne platilo $x_0+x_1+x_2+x_3=1$.

Čiže vlastne sme to transformovali na úlohu, či pre ľubovoľnú štvoricu $(y_0,y_1,y_2,y_3)$ takú, že $y_0+y_1+y_2+y_3=1$ existuje štvorica $(x_0,x_1,x_2,x_3)$ taká, že
$$\begin{align*} \frac{x_0+x_3}2&=y_0\\ \frac{x_0+x_1}2&=y_1\\ \frac{x_1+x_2}2&=y_2\\ \frac{x_2+x_3}2&=y_3\\ x_0+x_1+x_2+x_3&=1 \end{align*}$$

To sa dá ekvivalentne sformulovať tak, že sa pýtame na riešiteľnosť sústavy
$$\left(\begin{array}{cccc|c} \frac12 & 0 & 0 & \frac12 & y_0 \\ \frac12 & \frac12 & 0 & 0 & y_1 \\ 0 & \frac12 & \frac12 & 0 & y_2 \\ 0 & 0 & \frac12 & \frac12 & 1-y_0-y_1-y_2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$
pre ľubovoľné $y_0$, $y_1$, $y_2$.

Môžeme si všimnúť, že poslednú rovnicu by sme vlastne mohli vynechať -- zhodou okolností bolo zadanie také, že je súčtom prvých troch rovníc.
Či už ju pridáme alebo vynecháme, štandardným spôsobom vieme skontrolovať, či táto sústava má riešenie. (Keď sa nad tým trochu zamyslíte, tak uvidíte, že to nie je náhoda - súvisí to s tým, že barycentrická kombinácia barycetnrických kombinácií je barycentrická kombinácia.)

$\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 2y_0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 2y_1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 2y_2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2-2y_0-2y_1-2y_2 \\ \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 2y_0 \\ 0 & 1 & 0 &-1 & 2y_1-2y_0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 2y_2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2-2y_0-2y_1-2y_2 \\ \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 2y_0 \\ 0 & 1 & 0 &-1 & 2y_1-2y_0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2y_0-2y_1+2y_2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2-2y_0-2y_1-2y_2 \\ \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 2y_0 \\ 0 & 1 & 0 &-1 & 2y_1-2y_0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2y_0-2y_1+2y_2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2-4y_0-4y_2 \\ \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 2y_0 \\ 0 & 1 & 0 &-1 & 2y_1-2y_0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2y_0-2y_1+2y_2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1-2y_0-2y_2 \\ \end{array}\right)$

Zistili sme, že táto sústava má riešenie iba v prípade, že $2y_0+2y_2=1$, resp. $y_0+y_2=\frac12$.

Tým sme zistili, že nie každý bod sa dá napísať ako barycentrická kombinácia $B_0,\dots,B_3$. Čo znamená, že tieto body netvoria barycentrickú súradnicovú sústavu.

[Martin Sleziak]

Chyby, ktoré sa vyskytli v riešeniach

Niektorí ste zobrali súradnice bodov a poukladali ich do matice (do riadkov alebo do stĺpcov), určili pomocou riadkových úprav hodnosť a potom prehlásili, že z toho niečo vyplýva.
* Napríklad ste prehlásili, že nejde o b.s.s. lebo hodnosť je menšia ako 4.
* Alebo ste prehlásili, že keď vyšla hodnosť 3, tak ide o b.s.s.

Nejaký takýto postup by vám mohlo byť podozrivý už z toho dôvodu, že pracujete so súradnicami bodov a používate ich ako keby to boli vektory. (Na druhej strane, sú situácie kedy sa takto pracovať dá a robili sme s nimi; napríkad pri barycentrických kombináciách počítame priamo so súradnicami bodov - a je to to isté ako počítať s vektormi $\overrightarrow{OB_i}$.)

Každopádne na tvrdenia uvedené vyššie sa dajú nájsť pomerne ľahko kontrapríklady. V prvom rade, ak mám maticu $3\times 4$ alebo $4\times3$, tak hodnosť môže byť najviac $3$. Teda hodnosť $4$ nedostaneme nikdy.

Hodnosť $3$ môžem dostať aj ak nejde o b.s.s, napríklad body $B_0=B_1=(1,0,0)$, $B_2=(0,1,0)$, $B_3=(0,0,1)$.
A môžem ju dostať aj pre b.s.s, napríklad $B_0=(0,0,0)$, $B_1=(1,0,0)$, $B_2=(0,1,0)$, $B_3=(0,0,1)$.
Teda hodnosť matice, ktorú zostavím zo súradníc bodov nie je informácia, ktorá by stačila na to aby som povedal či dané body tvoria alebo netvoria barycentrícký súradnicový systém.