Riešenie
Poďme sa pozrieť na skupinu A, ostatné skupiny sa dajú riešiť rovnako.
Počítanie v barycentrických súradniciach. Celú úlohu môžeme riešiť tak, že počítame stále v barycentrických súradniciach. Treba si uvedomiť, že body na priamke $AE$ sú presne barycentrické kombinácie bodov $A$ a $E$. Podobne body v rovine $BCD$ sú presne tie body, ktoré sa dajú vyjadriť ako barycentrické súradnice bodov $B$, $C$, $D$. A my chceme nájsť taký bod, ktorý sa dá vyjadriť oboma spôsobomi.
Body na priamke $AE$ majú tvar:
$$(1-t)A+tE=(1-2t)A+\frac{2t}3B+\frac{t}3C+tD.$$
(Všimnime si, že tu nenápadne používame aj to, že barycentrická kombinácia barycentrických kombinácií je opäť barycentrická kombinácia:
viewtopic.php?t=617 - t.j. že s barycentrickými kombináciami sa skutočne dá počítať takýmto spôsobom.)
My chceme, aby to bola barycentrická kombinácia bodov $B$, $C$, $D$, teda aby koeficient pre $A$ bol nulový. Teda potrebujeme $1-2t=0$, $t=\frac12$.
Dostávame
$$P=\frac12A+\frac12E=\frac13B+\frac16C+\frac12D.$$
Cez parametrické vyjadrenie. Poďme sa pozrieť na to, čo by sme vedeli zo zadaných informácií povedať o parametrickom vyjadrení tejto priamky a roviny.
Zo zadania vieme, že $\overrightarrow{AE}=\frac23\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$.
Priamka $AE$ obsahuje body tvaru: $A+t\overrightarrow{AE}=A+\frac{2t}3\overrightarrow{AB}+\frac{t}3\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AD}$.
Rovina $BCD$ obsahuje body $B+u\overrightarrow{BC}+v\overrightarrow{BD}=A+\overrightarrow{AB}+u(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})+v(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=A+(1-u-v)\overrightarrow{AB}+u\overrightarrow{AC}+v\overrightarrow{AD}$.
Ak nejaký bod leží v prieniku, tak preň platí: $\frac{2t}3\overrightarrow{AB}+\frac{t}3\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AD}=(1-u-v)\overrightarrow{AB}+u\overrightarrow{AC}+v\overrightarrow{AD}$.
Pretože vektory $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BC}$ tvoria bázu v $\mathbb R^3$, dostaneme rovnosti
\begin{align*}
1-u-v&=\frac23t\\
u&=\frac t3\\
v&=t
\end{align*}
Riešením tejto sústavy dostaneme $t=\frac12$, $u=\frac16$, $v=\frac12$. Tieto hodnoty parametrov určujú hľadaný bod $P$ ako:
$P=A+\frac13\overrightarrow{AB}+\frac16\overrightarrow{AC}+\frac12\overrightarrow{AD}$.
Tento bod má barycentrické vyjadrenie $P=\frac13B+\frac16C+\frac12D$.
Poznamenám, že aspoň niektorí ste sa pokúšali robiť niečo podobné. (Teda aspoň ste napísali parametrické vyjadrenie priamky a roviny, potom ste už nepokračovali ďalej.) Tu azda vidno, že náročnosť problému môže závisieť aj od toho, ako si ho zapíšem. (Pokiaľ ste to isté, čo som napísal v tomto riešení, rozpísali po súradniciach; tak to vyzeral o dosť komplikovaniejšie a menej prehľadne.)
Môžem si zvoliť body $A$, $B$, $C$, $D$? Skúsme si zvoliť nejaký konkrétny b.s.s. v $\mathbb R^3$ a vyriešiť túto úlohu pre tieto konkrétne čísla.
Napríklad $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(0,1,0)$, $D=(0,0,1)$ je barycentrický súradnicový systém.
Pri takejto voľbe bodov $A$, $B$, $C$ dostaneme $E=\frac23B+\frac13C+D-A=(\frac23,\frac13,1)$.
Priamka $AE$ je obsahuje teda práve body tvaru $(\frac23,\frac13,1)t$ pre $t\in\mathbb R$.
Rovina $BCD$ je rovina určená rovnicou $x_1+x_2+x_3=1$.
Dosadením ľahko zistíme, v tejto rovine leží bod priamky pre parameter $t=\frac12$, t.j. bod $P=(\frac13,\frac16,\frac12)$.
Takisto nie je ťažké zistiť, že tento bod môžeme dostať ako barycentrickú kombináciu takto:
\begin{align*}
\left(\frac13,\frac16,\frac12\right)&=\frac13(1,0,0)+\frac16(0,1,0)+\frac12(0,0,1)\\
P&=\frac13B+\frac16C+\frac12D
\end{align*}
Týmto sme ale vypočítali iba ako to vyjde pre jednu konkrétnu voľbu bodov $A$, $B$, $C$, $D$. Vedeli by sme nejako zdôvodniť, že to vždy bude rovnako?
Uvedomme si najprv, že ak $A$, $B$, $C$, $D$ tvoria barycentrický súradnicový systém, tak $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})$ je afinný súradnicový systém. Navyše súradnice bodov, s ktorými pracujeme, v tomto súradnicovom systéme sú presne $A\equiv(0,0,0)$, $B\equiv(1,0,0)$, $C\equiv(0,1,0)$, $D\equiv(0,0,1)$.
Takže ak budeme počítať v tomto súradnicovom systéme, tak dostávame presne také vyjadrenie priamky $AE$ a roviny $BCD$, ako nám vyšlo pred chvíľou. (Rozdiel je ten, že kým usporiadané trojice vystupujúce v týchto výpočtoch predstavujú súradnice v rôznych afinných súradnicových systémoch.)
Takže vidíme, že rovnaký výsledok nám vyjde bez ohdľadu na to, aké sú body $A$, $B$, $C$, $D$.
Vlastne tento argument sa opiera o to, že voľba afinného súradnicového systému je afinný izomorfizmus a že tu pracujeme len s vecami, ktoré sa afinným izomorfizmom nemenia. (Konkrétne to, či nejaké body ležia na jednej priamke, v jednej rovine alebo či nejaký bod dostaneme ako barycentrickú kombináciu iných bodov.)
Ide o vcelku užitočnú ideu, že ak počítam niektoré veci, tak si môžem vhodne zvoliť súradnicový systém tak, aby sa mi počítalo ľahšie. (Toto je asi jedna z dôležitých vecí, ktoré by ste si mohli odniesť z prvej polovice semestra.)
Len si treba dať pritom pozor na to, že naozaj pracujem iba s vecami, ktoré zmena súradnicového systému neovplyvní. (Napríklad keby sa v zadaní našej úlohy nejakým spôsobom vyskytovala ortogonalita nejakých vektorov, tak tá by sa mohla pokaziť výberom iného afinného súradnicového systému.)
Ak zbadám, že stred leží v rovine $BCD$.
Vo všetkých skupinách bolo zadanie urobené tak, že $P=\frac{A+E}2$.
Napríklad v skupine A si môžeme ľahko všimnúť, že
$$\frac12A+\frac12E=\frac12A+\frac12\left(\frac23B+\frac13C+D-A\right)=\frac13B+\frac16C+\frac12D.$$
Zistili sme, že stred úsečky $AE$ je barycentrická kombinácia bodov $B$, $C$, $D$, teda leží v rovine $BCD$.
Takže sme našli aspoň jeden bod v prieniku priamky a roviny (a súčasne jeho barycentrické vyjadrenie.)
Ešte je otázka, či by tam nemohol byť aj iný bod priamky $AE$. Ak by však v rovine $BCD$ ležali dva rôzne body tejto priamky, tak by v nej bola aj celá priamka. A to by znamenalo, že aj $A$ leží v rovine $BCD$; to však odporuje zadanému predpokladu, že body $A$, $B$, $C$, $D$ tvoria barycentrický súradnicový systém.