Prienik priamky a roviny a barycentrické kombinácie

[Martin Sleziak]

Napíšem sem niečo k úlohe z písomky. Samozrejme, ak máte nejaké otázky, poznámky, návrhy na iné riešenia, tak neváhajte napísať sem na fórum.

Vo všetkých 4 skupinách bolo rovnaké zadanie, líšilo sa iba voľbou bodu $E$.

Nech body $A$, $B$, $C$, $D$ tvoria barycentrický súradnicový systém v $(\mathbb R^3,\mathbb R^3)$. Nech $E$ je zadaná barycentrická kombinácia týchto bodov.
Nájdite barycentrické súradnice bodu $P$, ktorý je prienik priamky $AE$ a roviny $BCD$.
A: $E=\frac23B+\frac13C+D-A$
B: $E=\frac12B+C+\frac12D-A$
C: $E=\frac14B+\frac34C+D-A$
D: $E=\frac23B+\frac23C+\frac23D-A$

Výsledky

A: $P=\frac13B+\frac16C+\frac12D$
B: $P=\frac14B+\frac12C+\frac14D$
C: $P=\frac18B+\frac38C+\frac12D$
D: $P=\frac13B+\frac13C+\frac13D$

[Martin Sleziak]

Riešenie

Poďme sa pozrieť na skupinu A, ostatné skupiny sa dajú riešiť rovnako.

Počítanie v barycentrických súradniciach. Celú úlohu môžeme riešiť tak, že počítame stále v barycentrických súradniciach. Treba si uvedomiť, že body na priamke $AE$ sú presne barycentrické kombinácie bodov $A$ a $E$. Podobne body v rovine $BCD$ sú presne tie body, ktoré sa dajú vyjadriť ako barycentrické súradnice bodov $B$, $C$, $D$. A my chceme nájsť taký bod, ktorý sa dá vyjadriť oboma spôsobomi.

Body na priamke $AE$ majú tvar:
$$(1-t)A+tE=(1-2t)A+\frac{2t}3B+\frac{t}3C+tD.$$
(Všimnime si, že tu nenápadne používame aj to, že barycentrická kombinácia barycentrických kombinácií je opäť barycentrická kombinácia: viewtopic.php?t=617 - t.j. že s barycentrickými kombináciami sa skutočne dá počítať takýmto spôsobom.)
My chceme, aby to bola barycentrická kombinácia bodov $B$, $C$, $D$, teda aby koeficient pre $A$ bol nulový. Teda potrebujeme $1-2t=0$, $t=\frac12$.
Dostávame
$$P=\frac12A+\frac12E=\frac13B+\frac16C+\frac12D.$$

Cez parametrické vyjadrenie. Poďme sa pozrieť na to, čo by sme vedeli zo zadaných informácií povedať o parametrickom vyjadrení tejto priamky a roviny.
Zo zadania vieme, že $\overrightarrow{AE}=\frac23\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$.
Priamka $AE$ obsahuje body tvaru: $A+t\overrightarrow{AE}=A+\frac{2t}3\overrightarrow{AB}+\frac{t}3\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AD}$.
Rovina $BCD$ obsahuje body $B+u\overrightarrow{BC}+v\overrightarrow{BD}=A+\overrightarrow{AB}+u(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})+v(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=A+(1-u-v)\overrightarrow{AB}+u\overrightarrow{AC}+v\overrightarrow{AD}$.
Ak nejaký bod leží v prieniku, tak preň platí: $\frac{2t}3\overrightarrow{AB}+\frac{t}3\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AD}=(1-u-v)\overrightarrow{AB}+u\overrightarrow{AC}+v\overrightarrow{AD}$.
Pretože vektory $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BC}$ tvoria bázu v $\mathbb R^3$, dostaneme rovnosti
$$\begin{align*} 1-u-v&=\frac23t\\ u&=\frac t3\\ v&=t \end{align*}$$
Riešením tejto sústavy dostaneme $t=\frac12$, $u=\frac16$, $v=\frac12$. Tieto hodnoty parametrov určujú hľadaný bod $P$ ako:
$P=A+\frac13\overrightarrow{AB}+\frac16\overrightarrow{AC}+\frac12\overrightarrow{AD}$.
Tento bod má barycentrické vyjadrenie $P=\frac13B+\frac16C+\frac12D$.

Poznamenám, že aspoň niektorí ste sa pokúšali robiť niečo podobné. (Teda aspoň ste napísali parametrické vyjadrenie priamky a roviny, potom ste už nepokračovali ďalej.) Tu azda vidno, že náročnosť problému môže závisieť aj od toho, ako si ho zapíšem. (Pokiaľ ste to isté, čo som napísal v tomto riešení, rozpísali po súradniciach; tak to vyzeral o dosť komplikovaniejšie a menej prehľadne.)

Môžem si zvoliť body $A$, $B$, $C$, $D$? Skúsme si zvoliť nejaký konkrétny b.s.s. v $\mathbb R^3$ a vyriešiť túto úlohu pre tieto konkrétne čísla.
Napríklad $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(0,1,0)$, $D=(0,0,1)$ je barycentrický súradnicový systém.
Pri takejto voľbe bodov $A$, $B$, $C$ dostaneme $E=\frac23B+\frac13C+D-A=(\frac23,\frac13,1)$.
Priamka $AE$ je obsahuje teda práve body tvaru $(\frac23,\frac13,1)t$ pre $t\in\mathbb R$.
Rovina $BCD$ je rovina určená rovnicou $x_1+x_2+x_3=1$.
Dosadením ľahko zistíme, v tejto rovine leží bod priamky pre parameter $t=\frac12$, t.j. bod $P=(\frac13,\frac16,\frac12)$.
Takisto nie je ťažké zistiť, že tento bod môžeme dostať ako barycentrickú kombináciu takto:
$$\begin{align*} \left(\frac13,\frac16,\frac12\right)&=\frac13(1,0,0)+\frac16(0,1,0)+\frac12(0,0,1)\\ P&=\frac13B+\frac16C+\frac12D \end{align*}$$

Týmto sme ale vypočítali iba ako to vyjde pre jednu konkrétnu voľbu bodov $A$, $B$, $C$, $D$. Vedeli by sme nejako zdôvodniť, že to vždy bude rovnako?

Uvedomme si najprv, že ak $A$, $B$, $C$, $D$ tvoria barycentrický súradnicový systém, tak $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})$ je afinný súradnicový systém. Navyše súradnice bodov, s ktorými pracujeme, v tomto súradnicovom systéme sú presne $A\equiv(0,0,0)$, $B\equiv(1,0,0)$, $C\equiv(0,1,0)$, $D\equiv(0,0,1)$.
Takže ak budeme počítať v tomto súradnicovom systéme, tak dostávame presne také vyjadrenie priamky $AE$ a roviny $BCD$, ako nám vyšlo pred chvíľou. (Rozdiel je ten, že kým usporiadané trojice vystupujúce v týchto výpočtoch predstavujú súradnice v rôznych afinných súradnicových systémoch.)
Takže vidíme, že rovnaký výsledok nám vyjde bez ohdľadu na to, aké sú body $A$, $B$, $C$, $D$.

Vlastne tento argument sa opiera o to, že voľba afinného súradnicového systému je afinný izomorfizmus a že tu pracujeme len s vecami, ktoré sa afinným izomorfizmom nemenia. (Konkrétne to, či nejaké body ležia na jednej priamke, v jednej rovine alebo či nejaký bod dostaneme ako barycentrickú kombináciu iných bodov.)

Ide o vcelku užitočnú ideu, že ak počítam niektoré veci, tak si môžem vhodne zvoliť súradnicový systém tak, aby sa mi počítalo ľahšie. (Toto je asi jedna z dôležitých vecí, ktoré by ste si mohli odniesť z prvej polovice semestra.)
Len si treba dať pritom pozor na to, že naozaj pracujem iba s vecami, ktoré zmena súradnicového systému neovplyvní. (Napríklad keby sa v zadaní našej úlohy nejakým spôsobom vyskytovala ortogonalita nejakých vektorov, tak tá by sa mohla pokaziť výberom iného afinného súradnicového systému.)

Ak zbadám, že stred leží v rovine $BCD$.
Vo všetkých skupinách bolo zadanie urobené tak, že $P=\frac{A+E}2$.

Napríklad v skupine A si môžeme ľahko všimnúť, že
$$\frac12A+\frac12E=\frac12A+\frac12\left(\frac23B+\frac13C+D-A\right)=\frac13B+\frac16C+\frac12D.$$
Zistili sme, že stred úsečky $AE$ je barycentrická kombinácia bodov $B$, $C$, $D$, teda leží v rovine $BCD$.

Takže sme našli aspoň jeden bod v prieniku priamky a roviny (a súčasne jeho barycentrické vyjadrenie.)
Ešte je otázka, či by tam nemohol byť aj iný bod priamky $AE$. Ak by však v rovine $BCD$ ležali dva rôzne body tejto priamky, tak by v nej bola aj celá priamka. A to by znamenalo, že aj $A$ leží v rovine $BCD$; to však odporuje zadanému predpokladu, že body $A$, $B$, $C$, $D$ tvoria barycentrický súradnicový systém.

[Martin Sleziak]

Chyby, ktoré sa vyskytovali v riešeniach.

V niektorých písomkách sa objavili zápisy takéhoto tvaru:
$AE=\frac23AB+\frac13AC+AD-A^2$.
Dve pripomienky k takémuto zápisu. Jednak by tam mali byť vektory, či zvykneme písať v tomto význame $\overrightarrow{AE}$ namiesto $AE$. A ďalej vektor z $A$ do $A$ označujeme $\overrightarrow{AA}$, nie $A^2$. A platí $\overrightarrow{AA}=\vec0$. Teda takto dostaneme:
$\overrightarrow{AE}=\frac23\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$.

V niektorých písomkách as objavili aj takéto výpočty:
$E=\frac23B+\frac13C+D-A$ $\Rightarrow$
$E+A=\frac23B+\frac13C+D$ $\Rightarrow$
$3E+3A=2B+C+3D$
Moja výhrada proti týmto výpočtom je, že napríklad výraz $E+A$ nie je vôbec definovaný. (Barycentrické kombinácie sme definovali iba ak súčet koeficientov je jedna.)
V princípe si viem predstaviť to, že tam počítate s bodmi po súradniciach. Pri takejto interpretácii veci, čo sú tu zatiaľ uvedené, fungujú. Ale pri takomto počítaní treba byť opatrný. (Nie všetko, čo sme spomínali pre barycentrické kombinácie, funguje aj pre takéto "počítanie s bodmi".)
Preto by azda bolo lepšie počítať s vektormi. Takýto zápis by už nebol problematický:
$\overrightarrow{OE}=\frac23\overrightarrow{OB}+\frac13\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$ $\Rightarrow$
$\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OA}=\frac23\overrightarrow{OB}+\frac13\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$ $\Rightarrow$
$3\overrightarrow{OE}+3\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+3\overrightarrow{OD}$
Navyše vieme, že v prvom riadku (kde súčet koeficientov je $1$) môžeme bod $O$ zvoliť úplne ľubovoľne. Ak si vezmeme niektorý z bodov $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, tak to zjednoduší výrazy, ktoré nám vyšli.

Podobne nemá zmysel, ak napíšete rovnosť vektor=bod. Napríklad sa v jednej z písomiek (skupina C) vyskytli takéto úpravy:

$A=\frac14B+\frac34C+D-E$
$B=-3C-4D+4A+4E$
$C=\frac{4\left(-\frac14B-D+A+E\right)}3$
$C=-\frac13B-\frac43D+\frac43A+\frac43E$
$\overrightarrow{BC}=-\frac13B+3C+\frac83D-\frac83A-\frac83E$

Opäť sme v situácii, že napríklad rovnosť $C=\frac43\left(-\frac14B-D+A+E\right)$ nedáva zmysel, lebo sme nedefinovali násobenie bodu konštantou a ani "lineárnu kombináciu" bodov, ak súčet koeficientov nie je rovný jednej. (Opäť by sa to dalo zachrániť prepísaním cez vektory alebo tým, že počítame po súradniciach v $\mathbb R^3$. Vďaka tomu to čo vyšlo v ďalšom riadku je správne vyjadrenie bodu $C$ ako barycentrickej kombinácie ostatných štyroch bodov.)
A takisto rovnosť v poslednom riadku nedáva zmysel, lebo na jednej strane rovnosti máme bod a na druhej vektor. Ale napríklad rovnosť
$\overrightarrow{BC}=-\frac13\overrightarrow{BB}+3\overrightarrow{BC}+\frac83\overrightarrow{BD}-\frac83\overrightarrow{BA}-\frac83\overrightarrow{BE}$
by už bolo zmysluplná. (A ak tam nie je nejaká numerická chyba, tak aj správna.)

Viacerí ste písali vo svojich riešeniach niečo také, že ľubovoľný bod priamky má tvar $X=A+\overrightarrow{AE}$ a ľubovoľný bod roviny má tvar $B+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}$. Toto nie je pravda - a malo by byť zrejmé, že to čo ste napísali určuje iba jeden bod, nie celú priamku resp. rovinu. (Chýbajú tam ešte parametre. Po ich doplnení by ste dostali správny zápis pre parametrické vyjadrenie zadanej priamky resp. roviny.)

Bodovanie
V princípe som v tejto úlohe nemal veľmi za čo dávať body.
Ale dal som aspoň pol bodu alebo jeden bod, keď bolo z vášho pokusu o riešenie aspoň jasné, že viete, čo je barycentrická kombinácia a že viete napísať parametrické vyjadrenie priamky resp. roviny.