Nerovnosť priemeru $a_n$ a $na_n$

[Martin Sleziak]

Nerovnosť na ktorú sme dnes na seminári narazili sa podľa mňa podobá dosť na takúto nerovnosť (a dôkazy oboch nerovností budú podľa mňa podobné, ale sem som napísal tú jednoduchšiu - snáď to bude prehľadnejšie):

Nech $0\le a_1\le a_2 \le \dots \le a_n$ potom platí
$$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{a_1+2a_2+\dots+na_n}\le\frac{n}{\frac{n(n+1)}2}.\tag{1}$$

Ak sa to niekomu viac pozdáva takto, môžeme túto nerovnosť prepísať ako
$$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{a_1+2a_2+\dots+na_n} \le \frac{n}{1+2+\dots+n}.\tag{1'}$$


Môj pokus o dôkaz.
Po úprave vidíme, že nerovnosť $(1)$ je ekvivalentná s nerovnosťou
$$(n+1)(a_1+a_2+\dots+a_n) \le 2(a_1+2a_2+\dots+na_n), \tag{2}$$
ktorá sa zdá byť pomerne zrejmá. (Máme tam rovnaký počet sčítancov, na pravej strane je viac tých väčších.)

A dá sa dostať jednoducho sčítaním týchto dvoch nerovností:
\begin{align*}
a_1+2a_2+\dots+na_n &\le a_1+2a_2+\dots+na_n\\
na_1+(n-1)a_2+\dots+a_n &\le a_1+2a_2+\dots+na_n
\end{align*}
pričom druhá nerovnosť je špeciálny prípad rearrangement inequality.

Pravdepodobne existuje veľa iných možností, ako takúto nerovnosť odvodiť alebo ako by sa táto nerovnosť alebo nejaký jej ekvivalent dali zovšeobecniť.
Skúsil som sa opýtať na tejto stránke; uvidíme, či tam niekto napíše nejaké zaujímavé riešenie.