Iné možnosti riešenia
Poďme sa ešte pozrieť na to, či sa to dá spraviť aj nejakým iným spôsobom, bez použitia Cayley-Hamiltonovej vety.
Budem sa teraz už venovať iba skupine A, v skupine B by sa dali použiť veľmi podobné úvahy.
Pretože máme maticu rozmerov $4\times4$ a vieme, že má $4$ rôzne vlastné čísla, tak táto matica je diagonalizovateľná a platí
$A=PDP^{-1}$, kde $P$ je nejaká regulárna matica a $D$ je diagonálna matica, ktorá má na diagonále práve vlastné čísla, t.j. môžeme napríklad zobrať
$$D=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 &-2 \\
\end{pmatrix}
$$
Z rovnosti $A=PDP^{-1}$ dostaneme aj $A^2=PD^2P^{-1}$, $A^3=PD^3P^{-1}$, atď.
Potom
$$B=A^4-5A^2+5I=PD^4P^{-1}-5PD^2P^{-1}+5I = P(D^4-5D^2+5I)P^{-1}.$$
Podobná úvaha funguje aj pre $A+B$, kde dostaneme $P(D^4-5D^2+D+5I)P^{-1}$.
Pretože diagonálne matice vieme ľahko umocňovať (stačí umocniť každý prvok na diagonále), tak matice $D$, $D^4-5D^2+5I$, $D^4-5D^2+D+5I$ vieme priamo vypočítať. Dostaneme opäť diagonálne matice, ich determinanty vieme vypočítať jednoducho vynásobením prvkov na diagonále.
Súčasne vieme, že podobné matice majú rovnaký determinant a zistili sme, že $A$ je podobná s $D$, $B$ je podobná s $D^4-5D^2+5I$ a $A+B$ je podobná s $D^4-5D^2+D+5I$, tak ich determinanty tiež vieme nájsť:
\begin{align*}
\det(A)&=\det(D)\\
\det(B)&=D^4-5D^2+5I\\
\det(A+B)&=D^4-5D^2+D+5I
\end{align*}
Azda sa oplatí spomenúť, že podstatná vlastnosť matíc $A$ a $B$ bola tá, že obe boli diagonalizovateľné takým spôsobom, že použijeme
tú istú maticu prechodu.